Mathematik HTL 1, Schulbuch

29 1.3 Rationale Zahlen – Bruchzahlen Ich lerne die Rechenregeln für rationale Zahlen zielgerichtet und sicher anzuwenden. Ich lerne den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei natürlichen Zahlen mit dem euklidischen Algorithmus zu berechnen. Ich lerne das Kürzen und Erweitern von Bruchzahlen zielgerichtet und sicher anzuwenden. Rechnen mit rationalen Zahlen Wenn a und b ganze Zahlen sind und b nicht 0 ist, dann nennen wir den Quotienten a _ b eine Bruchzahl oder rationale Zahl . Die ganze Zahl a heißt Zähler , die ganze Zahl b heißt Nenner der rationalen Zahl a _ b . Jede ganze Zahl a ist wegen a = a _ 1 eine rationale Zahl. Jede Dezimalzahl a _ 10 p ist eine rationale Zahl, aber nicht jede rationale Zahl ist eine Dezimalzahl. Zum Beispiel ist 1 _ 7 eine Bruchzahl, aber keine Dezimalzahl. Wir werden später sehen, dass es reelle Zahlen gibt, die keine rationalen Zahlen sind. Wenn wir Zähler und Nenner vorgeben, dann ist dadurch eindeutig eine rationale Zahl bestimmt. Umgekehrt gibt es zu einer rationalen Zahl mehrere Möglichkeiten, Zähler und Nenner zu wählen. Beispiel: 5 _ 10 = 1 _ 2 = 2 _ 4 = 3 _ 6 = ‒2 _ ‒4 = … Wenn wir eine Bruchzahl von der Darstellung a _ b in die Darstellung c·a _ c·b überführen, sagen wir, wir haben Zähler und Nenner um den Faktor c erweitert . Dabei muss c eine von 0 verschiedene Zahl sein! Beispiel: 7 _ 12 = 3·7 _ 3·12 = 21 _ 36 Zwei Bruchzahlen a _ b und c _ d kann man immer so anschreiben, dass sie denselben Nenner haben, indem man sie erweitert: a _ b = a·d _ b·d und c _ d = b·c _ b·d Achtung Zähler und Nenner müssen immer um denselben Faktor erweitert werden, sonst erhalten wir eine andere Bruchzahl! Um nachzuprüfen, ob die Bruchzahlen a _ b und c _ d gleich sind, berechnen wir die Produkte a·d und b·c. Genau dann ist a _ b = c _ d , wenn a·d = b·c ist. Ebenso gilt, falls b und d positive Zahlen sind: Genau dann ist a _ b < c _ d , wenn a·d < b·c ist. Genau dann ist a _ b > c _ d , wenn a·d > b·c ist. Beispiele:  15 _ 9 = 10 _ 6 , weil 15·6 = 9·10 ist.  3 _ 7 < 3 _ 5 , weil 3·5 < 3·7 ist. Für alle von 0 verschiedenen Zahlen a ist  a _ a = 1 _ 1 , weil a·1 = 1·a ist. Bruchzahl rationale Zahl Zähler Nenner erweitern Bruchzahlen vergleichen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv