Mathematik HTL 1, Schulbuch

279 5.6 Raumgeometrie Drehzylinder Ein Drehzylinder hat als Grund- und Deckfläche zwei parallele Kreise mit gleichem Radius r. Die Gerade durch die Mittelpunkte dieser zwei Kreise steht senkrecht auf der Grundfläche und der Deckfläche. Der Abstand von Grund- und Deckfläche wird als Höhe des Dreh- zylinders bezeichnet. Die Seitenfläche eines Drehzylinders lässt sich zu einem Rechteck „ausrollen“. Das Volumen V, die Mantelfläche M und die Oberfläche O eines Drehzylinders mit dem Radius r und mit der Höhe h sind: V = r 2 · π ·h M = 2·r·π·h O = 2·r· π ·h + 2·r 2 · π = 2·r· π ·(h + r) Ein Hohlzylinder entsteht, wenn ein Drehzylinder mit Radius r durch eine konzentrische Bohrung mit Radius r h < r ausgehöhlt wird. Das Volumen des Hohlzylinders ist daher die Differenz der Volumina von „äußerem“ und „innerem“ Drehzylinder: V = π ·h·(r 2 – r h 2 ) Schneiden wir einen Drehzylinder entlang einer Ebene durch, die nicht parallel zu Grund- und Deckfläche liegt, erhalten wir einen schief abgeschnittenen Drehzylinder mit einer maximalen Höhe h 1 und einer minimalen Höhe h 2 . Das Volumen können wir so berechnen: Wenn wir den Drehzylinder genau in der Mitte zwischen h 1 und h 2 mit einem Schnitt parallel zur Grundfläche durchschneiden, so können wir das abgeschnittene Stück so an den Restkörper ansetzen, dass ein Drehzylinder mit der Höhe h 1 + h 2 _ 2 entsteht. Daher ist das Volumen V des schief abgeschnittenen Drehzylinders gleich V = π ·r 2 · h 1 + h 2 _ 2 und die Mantelfläche M gleich M = r· π ·(h 1 + h 2 ) . 1219 Ein Drehzylinder hat den Radius r = 4 cm und die Höhe h = 5 cm. Berechne sein Volumen, seine Mantel- und Oberfläche. V = r 2 · π ·h = 4 2 · π ·5 = 80 π cm 3 M = 2·r· π ·h = 2·4· π ·5 = 40 π cm 2 O = 2·r· π ·(h + r) = 2·4· π ·(5 + 4) = 8· π ·9 = 72 π cm 2 h M 1 M 2 r Drehzylinder Volumen, Mantel- und Oberfläche eines Dreh- zylinders r h r h Hohlzylinder Volumen eines Hohlzylinders h 1 h 2 schief abge- schnittener Drehzylinder h 2 h 1 Volumen und Mantelfläche eines schief abgeschnittenen Drehzylinders B Berechnungen am Drehzylinder ggb z2pu2u Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv