Mathematik HTL 1, Schulbuch

277 5.6 Raumgeometrie Wir berechnen die Länge der Raumdiagonale d eines Quaders, indem wir zweimal den Satz von Pythagoras anwenden. Wenn a und b die Längen der Grundkanten und c die Länge der Seitenkanten eines Quaders sind, dann ist die Länge e der Diagonale der Grundfläche nach dem Satz von Pythagoras gleich 9 ____ a 2 + b 2 . Diese Diagonale und eine Seitenkante des Quaders sind die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen Hypotenuse die Länge d hat. Also ist die Länge d der Raumdiagonale eines Quaders mit Grundkanten der Länge a und b und der Seitenkante der Länge c d = 9 ____ e 2 + c 2 = 9 ______ a 2 + b 2 + c 2 . 1200 Ein Quader hat die Seitenlängen a = 3m, b = 4m und c = 2m. Berechne sein Volumen, seine Mantel- und Oberfläche sowie die Länge seiner Raumdiagonale. V = a·b·c = 3·4·2 = 24m 3 M = 2(ac + bc) = 2(3·2 + 4·2) = 28m 2 O = 2(ab + ac + bc) = 2(3·4 + 3·2 + 4·2) = 52m 2 d = 9 ______ 3 2 + 4 2 + 2 2 = 9 __ 29 = 5,39m 1201 Die Länge der Raumdiagonale eines Würfels beträgt 50 cm. a. Wie lang ist die Seitenkante des Würfels? b. Wie groß sind sein Volumen und seine Oberfläche? Berechne. 1202 Welche Oberfläche hat ein Würfel aus Granit (spezifisches Gewicht 2,7t/m 3 ) mit einem Gewicht von 25 kg? 1203 Ein Kanister in Quaderform hat als Innenmaße die Länge 35 cm, die Breite 20 cm und eine Höhe von 55 cm. Wie viel Liter fasst der Kanister? 1204 Eine quaderförmige Kiste hat die Länge 5a, die Breite 4a und die Höhe 3a. Wie muss a gewählt werden, damit das Volumen der Kiste 0,5m 3 beträgt? Welcher Materialbedarf (ohne Verschnitt) in Quadratmeter ergibt sich, wenn die Kiste ohne Deckel gefertigt werden soll? 1205 Ein quaderförmiges Schwimmbecken ist 20m lang, 10m breit und 1,50m tief. a. Wie viel Liter Wasser fasst das Schwimmbecken, wenn es bis 10cm unter den Rand gefüllt ist? b. Die Seitenflächen und der Boden des Schwimmbeckens müssen neu behandelt werden. Wie viel Quadratmeter sind zu behandeln? 1206 Das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche mit Kantenlänge a beträgt 125 cm 3 . Beantworte die Fragen mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. a. Wie groß ist die dritte Kantenlänge, wenn a 1 cm, 2 cm, 3 cm, …, 20 cm beträgt? b. Wie groß ist die Oberfläche der Quader aus Aufgabe a. ? c. Erstelle ein Diagramm, das jeder Kantenlänge a die Oberfläche zuordnet. d. Für welches a ist die Oberfläche am kleinsten? 1207 Die Burgruine Rauheneck bei Baden hat einen dreieckigen Burgturm. Er ist 25m hoch und hat eine Seitenkante von 8m. Die Wanddicke beträgt etwa 1m. Berechne das Volumen des Gemäuers. e c a b d Länge der Raumdiagonale eines Quaders B Berechnungen am Quader B A, B A, B A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv