Mathematik HTL 1, Schulbuch

274 Elementare Geometrie der Ebene und des Raumes Verschiebungsvektoren Wir wählen ein Koordinatensystem in der Ebene und einen Punkt A. Die Funktion t A von R 2 nach R 2 , die jedem Punkt P den Punkt A + P zuordnet, heißt Verschiebung oder Translation um A. Es ist A = t A (0). Wird P in den Punkt Q verschoben, ist A + P = t A (P) = Q und daher A = Q – P. Man schreibt oft _ À PQ für die Verschiebung t Q – P. Für alle Punkte R ist dann _ À (P + R) (Q + R) = _ À PQ. Der Graph der Translation um A ist die Menge Graph(t A ) = {(P 1 A + P) ‡ P Punkt der Ebene}, kann also durch die Menge aller Pfeile in der Ebene mit Schaft P und Spitze A + P dargestellt werden. Skizzieren wir eine solche Menge von Pfeilen in der Ebene, sehen wir, dass alle Elemente des Graphen gleich lange, zueinander parallele und in die gleiche Richtung zeigende Pfeile sind. 1190 Gegeben ist die Translation t P , die dem Punkt (4 1 2) den Punkt (‒1 1 1) zuordnet. Berechne t P ((1 1 0)). Wir müssen zunächst den Punkt P berechnen. Es ist (‒1 1 1) = t P ((4 1 2)) = P + (4 1 2). Daher ist P = (‒1 1 1) – (4 1 2) = (‒ 5 1 ‒1). Somit ist t P ((1 1 0)) = P + (1 1 0) = (‒ 5 1 ‒1) + (1 1 0) = (‒ 4 1 ‒1). Translationen kann man auf die folgende Weise addieren und mit Zahlen multiplizieren: Wenn t A die Translation um A, t B die Translation um B und c eine reelle Zahl ist, definieren wir: t A + t B = t A + B und c·t A = t c·A . Insbesondere ist für drei Punkte P, Q und R _ À PQ + _ À QR = t Q – P + t R – Q = t R – P = _ À PR. Dabei gelten dieselben Rechenregeln wie für das Rechnen mit Zahlenpaaren bzw. Punkten. Wir nennen daher Verschiebungen auch Verschiebungsvektoren . 1191 Die Translation s = t (1 1 2) ordnet jedem Punkt Q der Ebene den Punkt Q + (1 1 2) zu. Die Translation t = t (2 1 ‒1) ordnet jedem Punkt Q in der Ebene den Punkt Q + (2 1 ‒1) zu. a. Skizziere die Graphen von s und t, s + t und 3s. b. Berechne s((1 1 1)), t((1 1 1)), die Summe von s und t sowie das 3-Fache von s. a. b. s((1 1 1)) = (1 1 1) + (1 1 2) = (2 1 3) t((1 1 1)) = (1 1 1) + (2 1 ‒1) = (3 1 0) Die Summe s + t von s und t ist die Translation, die jedem Punkt Q den Punkt Q + (1 1 2) + (2 1 ‒1) = Q + (3 1 1) zuordnet. 3s ist die Translation, die jedem Punkt Q den Punkt Q + 3·(1 1 2) = Q + (3 1 6) zuordnet. Verschiebung Translation y x 0 -1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 -1 A A + P B Translationen berechnen Verschiebungs- vektoren B mit Translationen rechnen y x 0 -1 1 2 3 4 5 1 2 3 2 -1 s s s s t t t t t s y x 0 -1 1 2 3 s + t s t 3 ∙ s 4 5 1 2 3 4 5 6 -1 ggb p7m6b3 ggb 6mq7r4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv