Mathematik HTL 1, Schulbuch

273 5.5 Vektoren in der Geometrie Wann ist es sinnvoll, statt der Zahlenpaare oder Punkte Ortsvektoren zu verwenden? Zum Beispiel werden Kräfte, die in einem vorgegebenen Punkt 0 angreifen, durch Ortsvektoren dargestellt. Wenn zwei Kräfte zugleich im Punkt 0 angreifen, beobachten wir dieselbe Wirkung, wie wenn nur eine Kraft, genannt die resultierende Kraft, angreifen würde. Werden die zwei Kräfte durch die Ortsvektoren _ À p und _ À q beschrieben, dann ihre Resultierende durch den Ortsvektor _ À p + _ À q. Solange wir nur Kräfte betrachten, die im Punkt 0 angreifen, können wir sie auch durch P allein anstatt durch den Ortsvektor von O nach P beschreiben, das ist einfacher. Wenn wir aber zugleich Kräfte betrachten, die an einem anderen Punkt 0' angreifen, genügt die Beschreibung durch einen Punkt P allein nicht. Wir müssen auch den Angriffspunkt der Kraft bekannt geben. Dazu verwendet man dann Ortsvektoren. Achtung Wir dürfen dann aber nur Ortsvektoren mit gleichem Schaft addieren. Wenn 0 und 0' verschieden sind, hat es keinen Sinn, die Pfeile von 0 nach P und von 0' nach Q zu addieren! 1184 Wähle auf dem Zeichenblatt ein Koordinatensystem und zeichne die Punkte P = (1 1 3) und Q = (‒ 2 1 1) ein. a. Zeichne dann die Ortsvektoren _ À p und _ À q. Konstruiere die Punkte P + Q und 3P und die Orts- vektoren _ À p + _ À q und 3 _ À p. b. Wähle ein neues Koordinatensystem, indem du die erste und die zweite Koordinatenachse parallel in den Punkt (2 1 3) verschiebst. Der neue Nullpunkt 0' ist also der Punkt, dessen Koordinatenpaar im ersten Koordinatensystem (2 1 3) ist. Konstruiere dann die Ortsvektoren _ À p + _ À q und 3 _ À p bezüglich dem Nullpunkt 0'. 1185 Berechne den Betrag des Ortsvektors mit Spitze Q. a. Q = (‒ 5 1 12) b. Q = (‒ 5 1 ‒12) c. Q = (3 1 8) d. Q = 2 3 _ 4 1 ‒ 1 _ 2 3 1186 Kräfte, die in einem vorgegebenen Punkt angreifen, werden oft durch Ortsvektoren dargestellt. Wenn _ À p und _ À q zwei Kräfte sind, dann nennt man _ À p + _ À q die Resultierende der zwei Kräfte. Wähle auf dem Zeichenblatt ein rechtwinkliges Koordinatensystem und zeichne die Kräfte _ À p mit P = (3 1 3) und _ À q mit Q = (2 1 ‒ 3) sowie deren Resultierende ein. Berechne die Beträge der zwei Kräfte und ihrer Resultierenden. 1187 Wähle ein rechtwinkeliges Koordinatensystem und zeichne zwei Ortsvektoren mit Betrag 1 so ein, dass der Betrag ihrer Summe gleich s ist. a. s = 0 b. s = 2 c. s = 9 _ 2 1188 Überlege mithilfe einer Zeichnung zusammen mit deiner Banknachbarin oder deinem Banknach- barn: Wie groß kann der Betrag der Resultierenden von zwei Kräften mit Betrag 1, die im selben Punkt angreifen, höchstens sein? 1189 Drei Kräfte sind durch die Ortsvektoren mit Spitze (‒1 1 4), (2 1 1) und (3 1 3) gegeben. a. Konstruiere die Resultierende der drei Kräfte mithilfe einer DGS. b. Bestimme den Betrag der Resultierenden. P P + Q Q F 1 F 2 O’ O B B B B D B Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv