Mathematik HTL 1, Schulbuch

272 Elementare Geometrie der Ebene und des Raumes Der Betrag oder die Länge eines Pfeils ist der Abstand zwischen seinem Schaft und seiner Spitze. Wenn wir einen Pfeil in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem zeichnen, können wir seinen Betrag mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen: Der Betrag des Pfeils _ À p mit Schaft (0 1 0) und Spitze (x 1 y) ist 9 ____ x 2 + y 2 und der Betrag des Pfeils _ À q mit Schaft (a 1 b) und Spitze (x 1 y) ist 9 _________ (x – a) 2 + (y – b) 2 , kurz: | _ À p| = 9 ____ x 2 + y 2 und | _ À q| = 9 _________ (x – a) 2 + (y – b) 2 . 1179 Berechne den Betrag des Pfeils _ À p von (0 1 0) nach (3 1 4) und den Betrag des Pfeils _ À q von (2 1 ‒ 3) nach (14 1 2). | _ À p| = 9 ____ 3 2 + 4 2 = 9 __ 25 = 5 | _ À q| = 9 __________ (14 – 2) 2 + (2 + 3) 2 = 9 __ 169 = 13 1180 Zeichne die Punkte P = (‒ 3 1 2) und Q = (4 1 ‒1) in ein Koordinatensystem. a. Zeichne die Punkte P + Q, P – Q, 3P, ‒ 1 _ 2 Q, 2P – 1 _ 3 Q. b. Berechne die Koordinaten von P + Q, P – Q, 3·P, ‒ 1 _ 2 ·Q, 2·P – 1 _ 3 ·Q. c. Überprüfe das Ergebnis von b. durch Messen in der Zeichnung in a. 1181 Wähle auf dem Zeichenblatt ein Koordinatensystem und zeichne die Pfeile von (1 1 ‒ 2) nach (3 1 2), von (3 1 2) nach (2 1 4), von (2 1 4) nach (0 1 0) und von (0 1 0) nach (1 1 ‒ 2). 1182 Berechne den Betrag des Pfeils von P nach Q. a. P = (0 1 0) ; Q = (9 1 12) c. P = (9 1 12) ; Q = (0 1 0) b. P = (1 1 2) ; Q = (3 1 4) d. P = (‒ 2 1 ‒ 5) ; Q = (‒ 3 1 6) 1183 Zeichne mithilfe einer DGS den gegebenen Pfeil von P nach Q und bestimme seinen Betrag. a. P = (0 1 0); Q = (3 1 4) d. ( ‒ 2 1 2); Q = (3 1 ‒ 1) g. P = ( ‒ 2 1 ‒ 3); Q = (5 1 ‒ 1) b. P = (0 1 0); Q = ( ‒ 2 1 ‒ 2) e. ( ‒ 1 1 ‒ 4); Q = (2 1 ‒ 1) h. P = 2 ‒ 1 _ 2 1 1 _ 2 3 ; Q = 2 1 _ 2 1 3 _ 2 3 c. P = ( ‒ 1 1 2); Q = (3 1 4) f. ( ‒ 3 1 ‒ 1); Q = ( ‒ 1 1 ‒ 2) i. P = ( ‒ 2 1 ‒ 1,5); Q = 2 1 _ 2 1 1 _ 2 3 Ortsvektoren Mit 0 bezeichnen wir wie im Kapitel 3 den Nullpunkt der Ebene. Ein Ortsvektor _ À p eines Punktes P in der Ebene ist der Pfeil von 0 nach P. Mit Ortsvektoren können wir rechnen. Für Ortsvektoren _ À p und _ À q definieren wir _ À p + _ À q = _ À p + q („die Summe der Ortsvektoren von P und von Q ist der Ortsvektor von P + Q“). Für einen Ortsvektor _ À p und eine Zahl c definieren wir c· _ À p = _ À c·p („das c-Fache des Ortsvektors von P ist der Ortsvektor des c-Fachen von P“). Betrag x a 0 y b (a 1 b) (x 1 y) (x 1 b) Betrag eines Pfeils B den Betrag eines Pfeils berechnen B, D B B B Ortsvektor x y 0 P c ∙ P P + Q Q p q Addition von Ortsvektoren und Vielfaches eines Ortsvektors ggb 43j53m ggb nb8cm4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv