Mathematik HTL 1, Schulbuch

271 5.5 Vektoren in der Geometrie Ich lerne den Betrag von Pfeilen zu berechnen. Ich lerne mit Ortsvektoren zu rechnen und ihre Summe und ihre Vielfache geometrisch zu interpretieren. Ich lerne Beispiele für die Anwendung von Ortsvektoren kennen. Ich lerne mit Verschiebungsvektoren in der Ebene zu rechnen und ihre Graphen in der Ebene zu skizzieren. In Kapitel 3 haben wir das Rechnen mit n-Tupeln und Rechenregeln dafür kennengelernt. Wir haben n-Tupel „komponentenweise“ addiert und mit Zahlen multipliziert. Manchmal werden n-Tupel deshalb auch Vektoren genannt. In der Geometrie gibt es Gegenstände, die durch Zahlenpaare beschrieben werden und mit denen man dann auf gleiche Weise rechnen kann. Auch diese Gegenstände nennen wir dann Vektoren . Zahlenpaare, Punkte und Pfeile Wenn wir in der Ebene ein Koordinatensystem wählen, können wir Punkte durch ein Zahlenpaar, das Paar ihrer Koordinaten, beschreiben. Die Addition der Koordinatenpaare von zwei Punkten P und Q kann geometrisch interpretiert werden: Wir zeichnen das Parallelogramm, das die Punkte 0, P und Q als Eckpunkte enthält und für das die Strecke zwischen P und Q eine Diagonale ist. Das Koordinatenpaar des vierten Eckpunktes ist dann die Summe der Koordinatenpaare von P und Q, wir nennen ihn daher P + Q. Wenn wir das Koordinatenpaar von P mit einer Zahl c multiplizieren, erhalten wir wieder ein Zahlenpaar. Den Punkt mit diesen Koordinaten nennen wir dann c·P. Wie in Kapitel 3 werden wir im Weiteren keinen Unterschied zwischen einem Punkt und dem Zahlenpaar seiner Koordinaten machen. Ein Pfeil von P nach Q in der Ebene ist durch das Paar (P, Q) der Punkte P und Q festgelegt. Wir nennen den ersten Punkt P den Schaft und den zweiten Punkt Q die Spitze des Pfeils. Beachte, dass (P, Q) kein Zahlenpaar ist. Wir brauchen zur Beschreibung jedes der zwei Punkte zwei Zahlen, zur Beschreibung des Pfeils (P, Q) daher insgesamt 4 Zahlen. Beachte auch den Unterschied zwischen der Menge {P, Q} und dem Paar (P, Q): Die Menge {P, Q} = {Q, P} können wir durch die Strecke PQ eindeutig darstellen, aber das Paar (P, Q) enthält mehr Information: die Reihenfolge der zwei Punkte. Diese Zusatzinformation stellen wir durch Hinzufügen einer „Spitze“ an die Strecke dar. {P, Q}: (P, Q): Vektoren x 1 0 1 Q P + Q P y Pfeil x 1 0 1 Q P y x 1 0 1 Q P y ggb td4b7m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv