Mathematik HTL 1, Schulbuch

269 5.4 Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck Steigung In Abschnitt 3.3 haben wir gesehen, dass der Graph einer linearen Funktion f mit Änderungsrate k und Ordinatenabschnitt d eine Gerade in der Ebene ist. Wir nehmen im Weiteren an, dass k positiv ist. Für eine reelle Zahl z nennen wir das Dreieck mit den Eckpunkten A = (z 1 f(z)), C = (z + 1 1 f(z)) und B = (z + 1 1 f(z + 1)) das Steigungsdreieck von f in z. Der Winkel dieses Dreiecks bei A heißt Steigungs- winkel des Graphen von f in z, wir bezeichnen ihn mit α . Das Steigungsdreieck hat einen rechten Winkel bei C. Die Strecke zwischen A und C hat die Länge 1. Wegen f(z + 1) = f(z) + k hat die Strecke zwischen B und C die Länge k. Deshalb ist tan( α ) = k _ 1 = k. Das Steigungsdreieck ist für jede Zahl z ein rechtwinkeliges Dreieck, in dem die Katheten die Längen 1 und k haben. Deshalb sprechen wir einfach vom Steigungsdreieck von f. Der Winkel α ist daher auch für alle z derselbe und wir sprechen einfach vom Steigungswinkel des Graphen von f. Je größer k ist, desto größer ist der Steigungswinkel α . Daher nennt man die Änderungsrate k = tan( α ) von f auch die Steigung des Graphen von f. 1162 Berechne den Steigungswinkel des Graphen der linearen Funktion f mit f(x) = 2x + 4. Der Graph der linearen Funktion f hat die Steigung 2, für den Steigungswinkel α gilt tan( α ) = 2. Um daraus den Winkel zu berechnen, verwenden wir am Taschenrechner tan ‒1 und erhalten α ≈ 63,43°. 1163 Berechne den Steigungswinkel des Graphen der linearen Funktion. a. f: R ¥ R , z ¦ 3 _ 4 z b. f mit f(x) = ‒ x + 2,5 c. f mit f(x) = 1,7x + 2 1164 Die Gerade ist der Graph einer linearen Funktion. Gib seine Steigung als Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent an und berechne den Steigungswinkel im Gradmaß und im Bogenmaß. a. {c·(1, 4) ‡ c * R} c. {(3,5) + c·(1, 8) ‡ c * R} e. {(x, y) ‡ 4x – 3y = 0} b. {c·(2, 5) ‡ c * R} d. {(‒ 2, 3) + c·(4, 3) ‡ c * R} f. {(x, y) ‡ 5x – 4y = 13} 1165 Eine Gerade hat einen Steigungswinkel von 56,31° und geht durch den Punkt (2 1 5). a. Gib die Gerade in Parameterform an. b. Gib die lineare Funktion an, die diese Gerade als Graphen besitzt. 1166 Die Steigung einer Straße wird in Prozent angegeben. Eine Steigung von 8% bedeutet zum Beispiel, dass pro 100m horizontaler Länge 8m Höhe überwunden werden. Berechne die durchschnittliche Steigung der folgenden Passstraßen. a. Großglockner Hochalpenstraße Nord (von Bruck): 33 km Straßenlänge, 1 894m Höhendifferenz b. Großglockner Hochalpenstraße Süd (von Heiligenblut): 15,5 km Straßenlänge, 1 218m Höhen- differenz c. St. Gotthardpass Süd (von Airolo): 14,6 km Straßenlänge, 913m Höhendifferenz d. Balmberg Süd (von Günsberg): 3 km Straßenlänge, 437m Höhendifferenz A B C x 1 z f z + 1 0 1 y ó Steigungs- dreieck Steigungs- winkel Steigung B den Steigungs- winkel des Graphen einer linearen Funktion berechnen B B B B, C ggb/tns e7rc4i Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv