Mathematik HTL 1, Schulbuch

263 5.4 Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck 1115 Berechne den Sinus, Cosinus und Tangens von 75° mit dem Taschenrechner. Wir kontrollieren, ob der Taschenrechner auf Gradmaß eingestellt ist und stellen ihn gegebenen- falls um. Nach Drücken der entsprechenden Tastenkombination erhalten wir: sin(75°) = 0,9659… cos(75°) = 0,2588… tan(75°) = 3,7320… Weil die Seitenlänge der Hypotenuse immer größer oder gleich der Seitenlänge der Katheten ist, sind Sinus und Cosinus von Winkeln in einem rechtwinkeligen Dreieck immer Zahlen zwischen 0 und 1. Der Tangens eines Winkels kann hingegen beliebig groß werden. Wir bezeichnen mit a und b die Längen der Katheten und mit c die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks. Wir bezeichnen den Winkel zwischen der Hypotenuse und der Kathete mit Länge b mit α . Dann ist sin( α ) = a _ c und cos( α ) = b _ c . Mit dem Satz von Pythagoras erhalten wir: sin( α ) 2 + cos( α ) 2 = 2 a _ c 3 2 + 2 b _ c 3 2 = a 2 + b 2 _ c 2 = c 2 _ c 2 = 1, also gilt: sin( α ) 2 + cos( α ) 2 = 1 Nach Definition ist cot( α ) = sin( α ) _ cos( α ) = 1 _ cos( α ) _ sin( α ) = 1 _ tan( α ) . Das erklärt auch, warum es am Taschenrechner keine „Cotangens-Taste“ gibt: Der Cotangens kann als zum Tangens inverse Zahl (Taste mit der Beschriftung „ 1 _ x “ oder „x ‒1 “) berechnet werden. 1116 Von einem rechtwinkeligen Dreieck ∆ABC sind die Länge der Hypotenuse c = 7cm und der Winkel α = 23° bekannt. Gesucht sind die Längen der Katheten, die Höhe auf die Hypotenuse und die Hypotenusenabschnitte, sowie die Winkel β und γ . γ ist der Winkel, der der Hypotenuse gegenüberliegt, also ist γ = 90°. β ist der Komplementärwinkel zu α , also ist β = 90° – α = 90° – 23° = 67°. Im Dreieck ∆ABC gilt sin( α ) = a _ c , also ist a = c·sin( α ) = 7·sin(23°) ≈ 7·0,39 ≈ 2,73 cm. Weiters gilt cos( α ) = b _ c , also ist b = c·cos( α ) = 7·cos(23°) ≈ 7·0,92 ≈ 6,44 cm. (Wir könnten b auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen.) Im Dreieck ∆AHC gilt sin( α ) = h _ b , also ist h = b·sin( α ) ≈ 6,44·0,39 ≈ 2,51 cm. Weiters gilt cos( α ) = c b _ b , also ist c b = b·cos( α ) ≈ 6,44·0,92 ≈ 5,92 cm. Mit c = c b + c a gilt dann c a = c – c b ≈ 7 – 5,92 = 1,08 cm. (Wir könnten die Höhe und die Hypotenusenabschnitte auch mit dem Höhensatz bzw. mit dem Kathetensatz berechnen.) 1117 Berechne mit dem Taschenrechnen den Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens des Winkels. a. 56° c. 2,5° e. 8° 7’ 26’’ g. π _ 8 rad b. 87° d. 27° 12’ f. π _ 5 rad h. 0,749 rad 1118 Bestimme für den Winkel α die Zahlen sin( α ), cos( α ) und tan( α ). a. α = 11° c. α = 19° e. α = 11° 56’ 58’’ g. α = 40° 45’ 50’’ b. α = 31° d. α = 64° f. α = 20° 29’ 9’’ h. α = 70° 39’ 32’’ B Sinus, Cosinus und Tangens mit dem Taschenrechner berechnen c b a A B C ó ô B Berechnungen am rechtwinkeligen Dreieck c h b a A F B C ó ô B B tns se7d6j Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv