Mathematik HTL 1, Schulbuch

262 Elementare Geometrie der Ebene und des Raumes Der Sinus von α ist der Quotient Seitenlänge der Gegenkathete ____ Seitenlänge der Hypotenuse . Wir schreiben dafür kurz sin( α ). Der Cosinus von α ist der Quotient Seitenlänge der Ankathete ____ Seitenlänge der Hypotenuse . Wir schreiben dafür kurz cos( α ) . Der Tangens von α ist der Quotient Seitenlänge der Gegenkathete ____ Seitenlänge der Ankathete . Wir schreiben dafür kurz tan( α ) . Der Cotangens von α ist der Quotient Seitenlänge der Ankathete ____ Seitenlänge der Gegenkathete . Wir schreiben dafür kurz cot( α ) . Häufig schreiben wir anstatt „Seitenlänge der Ankathete“ abkürzend einfach „Ankathete“, ebenso für Gegenkathete und Hypotenuse. Wir können sin( α ), cos( α ), tan( α ) und cot( α ) an einem Viertelkreis mit Radius 1 veranschaulichen. Wir betrach- ten zunächst das rechtwinkelige Dreieck ∆0AP. Nach Definition des Sinus ist sin( α ) = Länge der Gegenkathete ____ Länge der Hypotenuse = Länge von AP __ 1 , das heißt, die Länge der Strecke AP ist sin( α ). Nach Definition des Cosinus ist cos( α ) = Länge der Ankathete ___ Länge der Hypotenuse = Länge von 0A __ 1 , das heißt, die Länge der Strecke 0A ist cos( α ). Nun betrachten wir das rechtwinkelige Dreieck ∆0BC. Nach Definition des Tangens ist tan( α ) = Länge der Gegenkathete ____ Länge der Ankathete = Länge von BC __ Länge von 0B = Länge von BC __ 1 , das heißt, die Länge der Strecke BC ist tan( α ). Nun betrachten wir noch das rechtwinkelige Dreieck ∆ED0. Die Winkel α und β sind Parallelwinkel, das heißt, α = β und nach Definition des Cotangens ist cot( α ) = cot( β ) = Länge der Ankathete ____ Länge der Gegenkathete = Länge von DE __ Länge von 0D = Länge von DE __ 1 , das heißt, die Länge der Strecke DE ist cot( α ). 1114 Berechne Sinus, Cosinus und Tangens von 45°, indem du ein Quadrat mit Seitenlänge s betrachtest und es durch Einzeichen der Diagonalen in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegst. Die Katheten dieser rechtwinkeligen Dreiecke haben jeweils die Länge s und die Hypotenuse die Länge s 9 _ 2. Die beiden spitzen Winkel sind 45°. Also folgt: sin(45°) = s _ s· 9 _ 2 = 1 _ 9 _ 2 = 1 _ 9 _ 2 9 _ 2 _ 9 _ 2 = 9 _ 2 _ 2 cos(45°) = s _ s· 9 _ 2 = 1 _ 9 _ 2 = 1 _ 9 _ 2 9 _ 2 _ 9 _ 2 = 9 _ 2 _ 2 tan(45°) = s _ s = 1 Aus der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens folgt unmittelbar: sin(0°) = 0, cos(0°) = 1, tan(0°) = 0 Zur Berechnung von Sinus, Cosinus und Tangens spitzer Winkel können wir auch den Taschen- rechner benutzen. Taschenrechner verwenden als Maß für Winkel wahlweise das Gradmaß oder das Bogenmaß. Mach dich kundig, wie du auf deinem Taschenrechner zwischen Grad- und Bogenmaß wechseln kannst. Sinus Cosinus Tangens Cotangens cos( ó ) sin( ó ) tan( ó ) cot( ó ) 0 D 1 P C E A B ó ô B Sinus, Cosinus und Tangens berechnen s s s s s ∙ ń 45° ggb r5m5m3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv