Mathematik HTL 1, Schulbuch

259 5.3 Flächenberechnungen Kreissegment Wenn P und Q die Schnittpunkte der Schenkel eines Winkels mit Scheitel S mit einem Kreis mit Mittelpunkt S sind, dann heißt die Menge der Punkte des Kreissektors, die nicht in dem durch S, P, Q gegebenen Dreieck liegen, Kreissegment. Die Fläche des Kreissegments erhält man, indem man von der Fläche des Kreissektors die Fläche des Dreiecks ∆SPQ subtrahiert. Die Länge der Strecke PQ heißt dann die Breite des Kreissegments. Die Streckensymmetrale der Strecke PQ enthält den Mittelpunkt des Kreises, weil P und Q denselben Abstand vom Mittel- punkt des Kreises haben. Der Abstand zwischen dem Streckenmittelpunkt von PQ und vom Schnittpunkt der Streckensymmetrale mit dem kürzeren Kreisbogen zwischen P und Q heißt Höhe des Kreissegments. 1103 Es soll ein Kreissegment mit der Höhe h = 2 cm und der Breite b = 5 cm konstruiert werden. Welchen Radius r muss der dazugehörige Kreis haben? Wir fertigen zunächst eine Skizze an, indem wir einen Kreis zeichnen und in diesem Kreis ein Kreissegment DCA auswählen. Über der Strecke DC errichten wir die Streckensymmetrale, welche den Kreis in den Punkten A und B schneidet. Die Streckensymmetrale geht außerdem durch den Mittelpunkt M des Kreises, da ja auch M von den Punkten D und C gleich weit entfernt ist. Aufgrund des Satzes von Thales muss das Dreieck ABC in C einen rechten Winkel haben. Die Länge der Strecke HA ist h, die Länge der Strecke HC ist b _ 2 und die Länge der Strecke HB ist 2r – h. Nach dem Höhensatz für das rechtwinkelige Dreieck ABC ist 2 b _ 2 3 2 = h·(2r – h). Wegen h = 2 cm und b = 5 cm ist 25 _ 4 = 2·(2r – 2), also r = 25 _ 16 + 1 = 41 _ 16 = 2,5625 cm. Somit ist der gesuchte Radius gleich r = 2,5625 cm. Natürlich kann man ein Kreissegment mit vorgegebener Höhe und Breite auch konstruieren, ohne zuvor r zu berechnen. In der folgenden Aufgabe sollst du herausfinden, wie das geht. 1104 Konstruiere ein Kreissegment mit der angegebenen Breite und Höhe. a. Breite = 6 cm, Höhe = 2 cm b. Breite = 7cm, Höhe = 3 cm. Hinweis: Zeichne dazu zunächst ein gleichschenkeliges Dreieck so, dass die Länge von dessen Basis die gegebene Breite ist und seine Höhe gleich der des gesuchten Kreissegments ist. Beschreibe deine Vorgangsweise bei der Konstruktion in Worten. 1105 Berechne die Radien der Kreise zu den Kreissegmenten aus Aufgabe 1104 und vergleiche sie mit den Längen der konstruierten Radien. P h Q S Kreissegment B Berechnungen am Kreissegment M H B A C D b 2 h 2r – h B B ggb x67jq2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv