Mathematik HTL 1, Schulbuch

257 5.3 Flächenberechnungen Kreis und Kreissektor Wir haben uns bereits überlegt, wie wir den Umfang eines Kreises messen und den Umfang eines Kreises als Vielfaches des Kreisradius anschreiben können: u = 2·r· π (mit π ≈ 3,1415). Die Fläche des Kreises können wir nicht so einfach messen. Man kann zeigen, dass sie aus dem Umfang und dem Radius des Kreises berechnet werden kann. Die Fläche A des Kreises mit Umfang u und Radius r ist A = u·r _ 2 = r 2 · π . Zeichnen wir einen Kreis und einen Winkel, dessen Scheitel der Mit- telpunkt des Kreises ist, so heißt die durch die Schenkel des Winkels und den Kreis begrenzte Menge von Punkten Kreissektor . Der Ab- schnitt des Kreises, der den Kreissektor begrenzt, heißt Kreisbogen . Verdoppelt, verdreifacht, …, vervielfacht man den Winkel eines Kreissektors, dann verdoppelt, verdreifacht, …, vervielfacht man die Fläche des Kreissektors und die Länge des Kreisbogens. Ist der Winkel 180°, so ist der Kreissektor ein Halbkreis, seine Fläche daher r 2 · π _ 2 . Die Länge des Kreisbogens ist dann der halbe Umfang des Kreises, also r· π . Ist der Winkel 1°, so ist die Fläche des Kreissektors 1 _ 180 -mal der halben Fläche des Kreises, also r 2 · π _ 360 . Die Länge des Kreisbogens ist 1 _ 180 -mal dem halben Umfang des Kreises, also r· π _ 180 . Ist der Winkel α °, so ist die Fläche A des Kreissektors A = α ·r 2 · π _ 360 und die Länge des Kreisbogens b b = α ·r· π _ 180 . 1092 Vergleiche für einen Umfang von jeweils 5m die Flächen eines gleichseitigen Dreiecks, eines Quadrates, eines regelmäßigen Sechsecks und eines Kreises. 1093 Berechne die Fläche der blauen Figur. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 4 cm. a. b. c. d. 1094 Die drei Kreise in der Skizze rechts haben alle einen Durchmesser von 5 cm. Berechne die Fläche und den Umfang der blauen Fläche. 1095 Aus einer rechteckigen Holzplatte (2400 × 2000mm) soll eine möglichst große Tischplatte ausgeschnitten werden. a. Wie viel Prozent Verschnitt ergeben sich bei einer kreisförmigen Tischplatte? b. Wie viel Prozent Verschnitt ergeben sich bei einer Tischplatte beste- hend aus einem Rechteck mit zwei anliegenden Halbkreisen? M Q P ó Fläche eines Kreises Kreissektor Kreisbogen Fläche des Kreissektors Länge des Kreisbogens C A, B, C A, B, C A, B Aufgaben e25y9e Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv