Mathematik HTL 1, Schulbuch

255 5.3 Flächenberechnungen Die Fläche A eines Parallelogramms mit Grundlinie g und Höhe h ist A = g·h. Die Fläche des Parallelogramms ist also gleich Grundlinie mal Höhe. Die Fläche eines Vieleckes – das ist eine durch endlich viele Strecken begrenzte Teilmenge der Ebene – berechnet man oft durch Zerlegen des Vieleckes in Dreiecke oder Parallelogramme. Trapez Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten. Wir können ein Trapez in ein Rechteck und zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegen. Die Fläche eines Trapezes ist die Summe der Flächen von zwei rechtwinkeligen Dreiecken und einem Rechteck, also x·h _ 2 + y·h _ 2 + c·h = (x + y + c + c)·h __ 2 = (a + c)·h __ 2 Die Fläche A des Trapezes ist A = (a + c)·h __ 2 , also gleich der Summe der Längen der zwei parallelen Seiten mal der halben Höhe. Deltoid Ein Deltoid ist ein Viereck, das wir uns aus zwei gleich- schenkeligen Dreiecken „zusammengebaut“ denken können, das heißt, die Seiten AB und AD bzw. die Seiten CB und CD sind gleich lang. Die Diagonale AC ist die Streckensymmetrale der Diagonale BD. Daher stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht. Ihre Längen werden meist mit e und f bezeichnet. Wir sehen, dass die Diagonale AC das Deltoid in zwei Dreiecke gleicher Fläche zerlegt. Eines dieser Dreiecke hat die Fläche f _ 2 · e _ 2 = e·f _ 4 . Die Fläche A des Deltoids ist daher das halbe Produkt der Längen der zwei Diagonalen: A = e·f _ 2 Jede Raute ist ein Deltoid, weil sogar alle vier Seiten gleich lang sind. Daher gilt: Die Fläche einer Raute kann entweder als das halbe Produkt der Längen ihrer zwei Diagonalen oder als Grundlinie mal Höhe berechnet werden. 1083 Von einem Parallelogramm kennt man die Seitenlängen a = 6 cm und b = 5,6 cm sowie die Höhe h a = 4,48 cm. Berechne die Fläche, die Höhe h b sowie die Längen der Diagonalen e und f. 1084 Von einem Parallelogramm kennt man die Seitenlängen 8 cm und 5 cm sowie die Fläche 32 cm 2 . Berechne die Höhen und die Längen der Diagonalen des Parallelogramms. 1085 Von einem Trapez kennt man die Seite a = 8 cm, die Höhe h = 4,6 cm und die Seite c = 3,2 cm. a. Berechne die Fläche des Trapezes. b. Berechne die Länge der Seite d, wenn bekannt ist, dass die Seite b = 5,75 cm lang ist. 1086 Von einem Trapez kennt man die Seiten c = 4,1 cm, d = 6 cm und die Höhe h = 3,6 cm. Die Fläche beträgt 27,9 cm 2 . Berechne die Längen der Seiten a und b. Fläche eines Parallelo- gramms A B C D c d b y h h x a Trapez Fläche eines Trapezes C e f B D A Deltoid Fläche eines Deltoids Fläche einer Raute B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv