Mathematik HTL 1, Schulbuch

254 5.3 Flächenberechnungen Ich lerne die Flächen von Vielecken zu berechnen, die sich in Rechtecke und rechtwinkelige Dreiecke zerlegen lassen oder sich zu Rechtecken oder rechtwinkeligen Dreiecken zusammensetzen lassen. Ich lerne Dreiecke, Vierecke, Kreise und Kreissektoren in Anwendungssituationen zu identifizieren und zum Berechnen gesuchter Bestimmungsstücke zu verwenden. Wir wissen bereits, wie wir die Fläche eines Rechtecks oder eines rechtwinkeligen Dreiecks berechnen können. Damit können wir aber auch viele andere Flächen berechnen, indem wir diese in Rechtecke und rechtwinkelige Dreiecke zerlegen und die Gesamtfläche als Summe dieser Teilflächen berechnen. Wir können aber auch die zu berechnende Fläche aufteilen und alle Flächenteile neu zu einem Rechteck oder einem rechtwinkeligen Dreieck zusammensetzen. Dreieck, Parallelogramm, Trapez und Deltoid Dreieck Um die Fläche eines beliebigen Dreiecks zu erhalten, verwandeln wir das Dreieck in ein flächengleiches Rechteck. Dazu zeichnen wir durch einen Eckpunkt des Dreiecks – zum Beispiel durch C – die Höhenlinie und bezeichnen den Schnitt- punkt dieser Geraden mit der dem Eckpunkt gegenüberliegen- den Seite mit F C und die entsprechende Höhe mit h c . Durch CF C und die Streckensymmetrale von CF C zerlegen wir das Dreieck in vier Flächen, die wir zu einem Rechteck mit Seitenlängen c und h c _ 2 zusammensetzen können. Anstelle des Eckpunktes C hätten wir auch A oder B wählen können. Also gilt: Die Fläche A des Dreiecks mit den Seiten a, b und c ist A = a·h a _ 2 = b·h b _ 2 = c·h c _ 2 . Die Fläche eines Dreiecks ist also gleich dem halben Produkt aus der Länge einer Dreieckseite und der Höhe auf diese Dreieckseite. Wenn das Dreieck rechtwinkelig ist, dann ist h a = b und h b = a, also erhalten wir in diesem Spezialfall als Fläche A eines rechtwinkeligen Dreiecks A = a·b _ 2 . Parallelogramm Ein Parallelogramm kann man durch zwei Schnitte in ein Rechteck und zwei rechtwinkelige Dreiecke mit gleicher Fläche zerlegen. Setzt man sie neu zusammen, erhält man ein Rechteck, dessen Seiten eine Seite des Parallelogramms und die auf dieser Seite stehende Höhe des Parallelogramms sind. F c A B h c h c 2 C Fläche eines Dreiecks Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv