Mathematik HTL 1, Schulbuch

252 Elementare Geometrie der Ebene und des Raumes 1066 Der Satz von Thales kann mithilfe gleichschenkeliger Dreiecke bewiesen werden. Arbeite den nachfolgenden Beweis durch und ergänze ihn an den Stellen, an denen Arbeitsaufträge formuliert sind. Beweis des Satzes von Thales: Wir zerlegen das Dreieck ∆ABC in die zwei Dreiecke ∆AMC bzw. ∆MBC. Diese zwei Dreiecke sind gleichschenkelig. a. Begründe, warum die Dreiecke ∆AMC und ∆MBC gleichschenkelig sind. Daher sind die Winkel ½ MAC und ½ ACM gleich – wir bezeichnen diese mit α – und ebenso die Winkel ½ BCM und ½ CBM – wir bezeichnen diese mit β . b. Begründe, warum die Winkel ½ MAC und ½ ACM bzw. ½ BCM und ½ CBM gleich sind. Daher ist der Winkel ½ CMA = 180° – 2 α , der Winkel ½ BMC = 180° – 2 β . c. Begründe, warum gilt: ½ CMA = 180° – 2 α und ½ BMC = 180° – 2 β . Da ½ CMA und ½ BMC Supplementärwinkel sind, gilt 180° = (180° – 2 α ) + (180° – 2 β ). Da der Winkel ½ ACB = α + β ist, folgt daraus, dass das Dreieck ∆ABC rechtwinkelig ist. d. Forme 180° = (180° – 2 α ) + (180° – 2 β ) nach ( α + β ) um und bestätige damit die obige Aussage. 1067 Nach dem Höhensatz ist das Quadrat der Höhe über der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte. a. Begründe: Wenn in einem rechtwinkeligen Dreieck einer der beiden Hypotenusenabschnitte gleich 1 ist, dann ist die Höhe gleich der Wurzel aus der Länge des anderen Hypotenusenabschnitts. b. Wir geben eine positive Zahl z vor. Beschreibe, wie man mithilfe des Satzes von Thales ein rechtwinkeliges Dreieck konstruiert, dessen Hypotenusenabschnitte die Längen z und 1 haben. c. Verwende die Aufgaben a. und b. , um die Wurzeln 9 _ 3, 9 _ 5, 9 _ 7 und 9 _ 9 zu konstruieren. 1068 Konstruiere mit einer DGS die Zeichnung aus Aufgabe 1067 so nach, dass die Länge der Strecke z durch Ziehen des rechten unteren Eckpunktes beliebig verändert werden kann. Sowohl die Länge von z als auch der Höhe 9 _ z sollen dabei in der Beschriftung angezeigt werden. 1069 Konstruiere ein rechtwinkeliges Dreieck, von dem die Hypotenusenlänge c und eine Katheten- länge a gegeben ist. a. c = 6 cm; a = 4 cm b. c = 7cm; a = 2 cm c. c = 12 cm; a = 11 cm d. c = 12 cm; a = 7cm 1070 Konstruiere mithilfe einer DGS ein rechtwinkeliges Dreieck, von dem die Hypotenusenlänge 8 cm und Länge einer Kathete 5 cm ist. 1071 Konstruiere mithilfe einer DGS ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 10 cm und der Höhe h = 4 cm. Lass das Programm die Längen der Katheten a und b ausgeben. Kontrolliere das Ergebnis, indem du die Fläche A mit der Formel A = a·b _ 2 und mit der Formel A = c·h _ 2 berechnest. 1072 Begründe mit dem Satz von Pythagoras: Wenn die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks c cm lang ist und eine Kathete a cm lang ist, dann ist c 2 > a 2 . Folgere daraus: Die Länge einer Kathete in einem rechtwinkeligen Dreieck ist immer kleiner als die Länge der Hypotenuse. 1073 Einen rechten Winkel können wir mit Bleistift, Lineal und Zirkel auf zwei Arten konstruieren: durch Konstruktion einer Streckensymmetralen oder mithilfe des Satzes von Thales. Vergleiche diese zwei Verfahren und diskutiere sie mit deinen Mitschülerinnen und Mitschülern. D M B A C ó ó ô ô B, C, D M 1 z ń] B B B B D D Link xg7sj3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv