Mathematik HTL 1, Schulbuch

250 Elementare Geometrie der Ebene und des Raumes Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind. Diese zwei Seiten heißen Schenkel des gleichschenkeligen Dreiecks, die dritte Seite heißt Basis . Ein Eckpunkt, wir nennen ihn C, hat also von den anderen zwei – wir nennen sie A und B – denselben Abstand, daher liegt er auf der Streckensymmetralen von AB. Insbesondere steht die Gerade durch C und den Streckenmittelpunkt H von AB normal auf die Gerade durch A und B. Die rechtwinkeligen Dreiecke ∆AHC und ∆BHC haben daher dieselben Seitenlängen. Also sind die Winkel bei A und bei B gleich. Daher sind auch die Winkel dieser zwei Dreiecke bei C gleich. Wenn wir den Winkel des Dreiecks ∆ABC bei C mit γ bezeichnen, dann ist der Winkel von ∆AHC bei C gleich γ _ 2 . Damit erhalten wir ein Verfahren, einen gegebenen Winkel mit Zirkel und Lineal zu halbieren. Wir gehen dabei so vor: Wir zeichnen mit dem Scheitel S des Winkels als Mittelpunkt einen Kreisbogen, der beide Schenkel des Winkels schneidet, und bezeichnen die Schnittpunkte mit A und B. Dann zeichnen wir die Streckensymmetrale der Strecke AB ein. Weil das Dreieck ∆ASB gleichschenkelig mit Basis AB ist, hal- biert diese Gerade den Winkel. Wir nennen die Gerade, die einen Winkel halbiert Winkelsymmetrale des gegebenen Winkels. Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem die Längen aller Seiten gleich sind. Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenkelig, jede Seite kann als Basis betrachtet werden. Insbesondere sind alle drei Winkel gleich. Da die Summe der drei Winkel 180° sein muss, ist jeder der drei Winkel gleich 60°. Wir betrachten nun ein gleichseitiges Dreieck ∆ABC. Wir bezeichnen den Fußpunkt der Höhenlinie durch C wieder mit H. Weil ein gleichseitiges Dreieck auch gleichschenkelig ist, ist H der Streckenmittelpunkt von AB. Wir betrachten das rechtwinkelige Dreieck ∆AHC: Die Länge der Hypotenuse ist a, die Längen der Katheten sind h und a _ 2 . Es gilt daher: h 2 + 2 a _ 2 3 2 = a 2 | – 2 a _ 2 3 2 h 2 = a 2 – a 2 _ 4 h 2 = 3· a 2 _ 4 Da a und h positiv sind, können wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und erhalten: Die Länge der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a ist h = a _ 2 · 9 _ 3 . Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a wird durch die Höhenlinie durch einen Eckpunkt in zwei rechtwinkelige Dreiecke mit gleicher Fläche zerlegt. Die Längen der Katheten dieser rechtwinkeligen Dreiecke sind a _ 2 und a _ 2 9 _ 3. Die Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts seiner Katheten. Daher gilt: Die Fläche A eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a ist A = a 2 _ 4 · 9 _ 3 . gleichschenke- liges Dreieck A H C B ó ô õ S A B M Winkel- symmetrale gleichseitiges Dreieck A H h a a a B C Höhe eines gleichseitigen Dreiecks Fläche eines gleichseitigen Dreiecks Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv