Mathematik HTL 1, Schulbuch

249 5.2 Grundlegendes zum rechtwinkeligen Dreieck 1055 Einem Kreis mit Radius 5 cm wird ein regelmäßiges 8-Eck eingeschrieben. a. Zeichne dieses 8-Eck. Hinweis: Beginne zunächst mit einem eingeschriebenen Quadrat und zeichne dann auf jede Quadratseite eine Normale durch den Mittelpunkt. b. Berechne die Seitenlänge, den Umfang und die Fläche des 8-Ecks. c. Wie viel Prozent der Kreisfläche nimmt das 8-Eck ein? Streckensymmetrale und gleichschenkelige Dreiecke Wir wenden nun den Satz von Pythagoras auf weitere geometrische Fragestellungen an. Mit A und B bezeichnen wir zwei Punkte. Der Strecken- mittelpunkt M einer Strecke AB ist jener Punkt dieser Strecke, der von A und B denselben Abstand hat. Dieser Abstand ist also die Hälfte des Abstandes von A zu B. Die Gerade durch M, die normal auf der Geraden durch A und B steht, heißt Streckensymmetrale . Jeder Punkt P, der auf der Streckensymmetrale liegt, hat zu A und B den gleichen Abstand, denn: Die Dreiecke ∆AMP und ∆BMP sind rechtwinkelig und ihre Katheten haben dieselbe Länge (Abstand von P zu M und Abstand von M zu A bzw. B; hier verwenden wir, dass M der Streckenmittelpunkt ist). Nach dem Satz von Pythagoras müssen auch die Hypotenusen die gleiche Länge haben. Diese Längen sind aber die Abstände zwischen P und A, sowie zwischen P und B. Wenn ein Punkt Q zu A und B den gleichen Abstand s hat, dann zeichnen wir eine Gerade durch Q, die normal auf der Geraden durch A und B steht. Den Schnittpunkt dieser zwei Geraden bezeichnen wir mit H. Die Abstände von H zu Q, A, B bezeichnen wir mit h, u, v. Dann ist h 2 + u 2 = s 2 und h 2 + v 2 = s 2 , also muss u 2 = v 2 sein. Weil u und v nicht negativ sind, folgt daraus u = v. Daher ist H der Streckenmittelpunkt von AB und Q liegt auf der Streckensymmetrale. Damit haben wir gezeigt: Die Streckensymmetrale der Strecke AB ist die Menge aller Punkte, die denselben Abstand zu A wie zu B haben. Sie enthält den Streckenmittelpunkt von AB und steht normal auf die Gerade durch A und B. Diese Einsicht liefert uns auch ein Verfahren, um die Streckensymmetrale zu konstruieren (und damit auch ein Verfahren, eine Gerade zu konstruieren, die auf einer gegebenen Geraden normal steht): Wir zeichnen zwei Kreise mit gleichem Radius und Mittelpunkten A und B. Der Radius dieser Kreise muss größer als der halbe Abstand zwischen A und B sein. Diese zwei Kreise haben zwei Schnittpunkte (diese haben zu A und zu B denselben Abstand), also haben wir zwei Punkte ermittelt, die auf der Streckensymmetralen liegen. Die Strecken- symmetrale ist dann die Gerade durch diese zwei Punkte. B A M B Strecken- mittelpunkt Strecken- symmetrale A M P B A u s s v h H Q B A B Link q577um Nur z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv