Mathematik HTL 1, Schulbuch

247 5.2 Grundlegendes zum rechtwinkeligen Dreieck In einem rechtwinkeligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe durch C gleich dem Produkt der Hypotenusenabschnitte: h 2 = c a ·c b Das können wir so zeigen: Wir bezeichnen den Fußpunkt der Höhenlinie durch C mit H. Die Dreiecke ∆AHC und ∆HBC sind rechtwinkelig, daher gilt nach dem Satz von Pythagoras b 2 = c b 2 + h 2 und a 2 = c a 2 + h 2 und c 2 = a 2 + b 2 und c 2 = (c a + c b ) 2 = c a 2 + 2c a c b + c b 2 . Also folgt: a 2 + b 2 = c a 2 + c b 2 + 2c a c b | a 2 = c a 2 + h 2 und b 2 = c b 2 + h 2 c a 2 + h 2 + c b 2 + h 2 = c a 2 + c b 2 + 2c a c b | – c a 2 – c b 2 2h 2 = 2c a c b | : 2 h 2 = c a c b In einem rechtwinkeligen Dreieck ist das Quadrat der Länge einer Kathete gleich dem Produkt der Länge des angrenzenden Hypotenusenabschnitts mit der Länge der Hypotenuse: a 2 = c a ·c und b 2 = c b ·c Wir verwenden zum Beweis den Höhensatz: c a ·c = c a (c a + c b ) = c a 2 + c a c b = c a 2 + h 2 = a 2 c b ·c = c b (c a + c b ) = c a c b + c b 2 = h 2 + c b 2 = b 2 1037 In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Länge einer Kathete a = 8 cm und die Länge der Hypotenuse c = 10 cm. Berechne b, die Länge der anderen Kathete, die Höhe h durch C und die Hypotenusenabschnitte c a und c b . Nach dem Satz von Pythagoras ist b 2 = c 2 – a 2 = 100 cm 2 – 64 cm 2 = 36 cm 2 , also ist b = 6 cm. Nach dem Kathetensatz ist a 2 = c a c, also c a = a 2 _ c = 64 _ 10 cm = 6,4 cm und c b = c – c a = 10 cm – 6,4 cm = 3,6 cm. Nach dem Höhensatz ist h 2 = 6,4 cm·3,6 cm = 23,04 cm 2 , also h = 4,8 cm. 1038 In einem rechtwinkeligen Dreieck sind a und b die Längen der Katheten und c die Länge der Hypotenuse. Zwei dieser drei Längen sind gegeben. Berechne die dritte. a. a = 3m; c = 5m c. a = 3m; c = 3 9 _ 2 m e. a = 2,23m; b = 1,14m b. b = 12m; c = 13m d. a = 10m; b = 20m f. b = 11,7m; c = 20m 1039 Die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 37cm, die Länge einer Kathete ist 35 cm. Berechne die Länge der anderen Kathete. 1040 Ein Rechteck hat die Seitenlängen a und b. Gib an, wie man die Länge der Diagonalen berechnet. 1041 Ein Rechteck hat die Seitenlängen 2,5 cm und 7cm. Berechne die Länge der Diagonalen. 1042 Der Bildschirm eines Notebooks ist 29,4 cm breit und 10,5 cm hoch. Berechne die Länge der Bilddiagonale in Zentimeter und in Zoll (1 Zoll = 2,54 cm). 1043 Ein Quadrat hat die Seitenlänge a. Wie berechnet man die Länge der Diagonale? Begründe. 1044 Die Diagonale eines Quadrats ist 50 cm lang. Berechne die Seitenlänge dieses Quadrats. A H B C a b h c b c a Höhensatz Kathetensatz B die pythagoreische Satzgruppe anwenden B B B B B B B ggb bs89h2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv