Mathematik HTL 1, Schulbuch

246 Elementare Geometrie der Ebene und des Raumes Die pythagoreische Satzgruppe Zur pythagoreischen Satzgruppe gehören der Satz von Pythagoras, der Höhensatz und der Kathetensatz, die wir nun herleiten werden. Wir betrachten ein rechtwinkeliges Dreieck mit Eckpunkten A, B, C, wobei AB die Hypotenuse ist. Die Seitenlänge der A bzw. B bzw. C gegenüberliegenden Seite bezeichnen wir mit a bzw. b bzw. c. Die Seitenlänge der Hypotenuse ist also c. Den Winkel beim Eckpunkt A bezeichnen wir mit α , den beim Eckpunkt B mit β . Dann ist α + β + 90° = 180°, also α + β = 90°. In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Seitenlängen der Katheten gleich dem Quadrat der Seitenlänge der Hypotenuse. Mit den Bezeichnungen von oben wird das kurz so formuliert: a 2 + b 2 = c 2 Zum Beweis betrachten wir ein Quadrat mit Seitenlänge a + b. Wir zeichnen vier rechtwinkelige Dreiecke ein, die Seitenlängen der Katheten jedes dieser Dreiecke sind a und b. Zwei aneinandergrenzende Hypotenusen bilden mit der Seite des Quadrates die Winkel α und β . Ist φ der Winkel zwischen diesen Hypotenusen, dann muss α + β + φ = 180° sein. Wegen α + β = 90° folgt daraus, dass φ ein rechter Winkel ist. Die vier Hypotenusen bilden daher ein Quadrat mit Seitenlänge c. Dann ist die Fläche des großen Quadrates gleich der Fläche des kleinen Quadrates plus 4-mal die Fläche des rechtwinkeligen Dreiecks, also (a + b) 2 = c 2 + 4 ab _ 2 . Daraus ergibt sich die Behauptung: a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab | – 2ab a 2 + b 2 = c 2 Es gilt auch die Umkehrung des Satzes von Pythagoras: Sind a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks und ist a 2 + b 2 = c 2 , dann ist das Dreieck recht- winkelig. Dieses Ergebnis wurde früher von Bauleuten benutzt, um rechte Winkel herzustellen. Drei Personen A, B, C bekommen drei Seile mit den Längen 3, 4 und 5. Es ist 3 2 + 4 2 = 5 2 . Jede Person nimmt die Enden von zwei Seilen in die Hand so, dass ein Dreieck aus den Seilen entsteht. C nimmt die Seile mit den Längen 3 und 4. Sie gehen so weit auseinander, dass alle Seile straff gespannt sind. Dann bilden die Seile bei C einen rechten Winkel. Mithilfe des Satzes von Pythagoras können wir nun durch Rechnen weitere geometrische Einsichten über das rechtwinkelige Dreieck gewinnen. Dazu zeichnen wir durch den Eckpunkt C des Dreiecks eine Gerade, die normal auf die gegenüberliegende Seite steht. Den Schnittpunkt dieser Geraden mit der dem Eckpunkt gegenüber liegenden Seite bezeichnen wir mit H. Wir nennen diese Gerade Höhenlinie (durch C), die Länge der Strecke CH nennen wir die Höhe durch C und bezeichnen sie mit h, den Punkt H nennen wir den Fußpunkt der Höhenlinie durch C. Die Höhenlinie durch C teilt die Hypotenuse in zwei Hypote- nusenabschnitte , deren Längen wir mit c a und c b bezeichnen. c b a A B C ó ô Satz von Pythagoras a b a b a b c c c c b a ó ó ô ô Umkehrung des Satzes von Pythagoras A H B C a b h c b c a Hypotenusen- abschnitt Link gw73qv Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv