Mathematik HTL 1, Schulbuch

24 Zahlen Für beliebige drei reelle Zahlen a, b und c gelten die folgenden Rechenregeln. (a + b) + c = a + (b + c) (a·b)·c = a·(b·c) Addieren oder multiplizieren wir drei oder mehr Zahlen, dann kommt es auf die Reihenfolge der Additionen oder Multiplikationen nicht an. Wenn wir nur addieren bzw. nur multiplizieren, können wir auf Klammern verzichten. a + b = b + a a·b = b·a Auf die Reihenfolge der Summanden einer Addition und der Faktoren einer Multiplikation kommt es nicht an. (a + b)·c = a·c + b·c Addiert man zwei Zahlen und multipliziert die Summe mit einer dritten, dann erhält man dieselbe Zahl, wie wenn man die ersten zwei Zahlen zuerst mit der dritten multipliziert und dann addiert. Im Unterschied zu den anderen Rechenregeln, die immer nur eine Rechenoperation betreffen, geht es im Distributivgesetz um das Zusammenwirken von Addition und Multiplikation. Den Übergang von (a + b)·c zu a·c + b·c nennen wir ausmultiplizieren , den Übergang von a·c + b·c zu (a + b)·c nennen wir herausheben . 76 Berechne 43·37 + 29·37. Durch Herausheben können wir uns eine Multiplikation sparen: 43·37 + 29·37 = (43 + 29)·37 = 72·37 = 2664 Das Ergebnis ist aber dasselbe, wenn wir zuerst zweimal multiplizieren und dann addieren: 43·37 + 29·37 = 1 591 + 1 073 = 2664 Diese Rechenregeln können wir für einzelne Zahlen durch Konstruktionen auf der Zahlengeraden nachprüfen. Wir können sie aber nicht für alle mögliche Zahlen a, b und c nachprüfen, weil wir damit nie fertig werden würden. Wir können daher diese Rechenregeln nicht allgemein beweisen. Andererseits lassen uns die Konstruktionen auf der Zahlengeraden vermuten, dass diese Rechen- regeln gültig sind. Wir nehmen daher an, dass die formulierten Rechenregeln für alle reellen Zahlen gelten. 77 Wähle drei Zahlen a, b und c auf der Zahlengeraden. a. Zeige für diese drei Zahlen das Assoziativgesetz der Addition, das heißt, zeige durch Konst- ruktion, dass die Zahlen (a + b) + c und a + (b + c) gleich sind. b. Zeige für zwei dieser Zahlen das Kommutativgesetz der Multiplikation, das heißt, zeige durch Konstruktion, dass die Zahlen a·b und b·a gleich sind. 78 Gib an, welche Behauptungen für alle Zahlen a, b, c richtig sind. Begründe. A 3·(7·a) = (3·7)·(3·a) C a _ 3 : 5 = a _ 5 : 3 _ 5 B a(b – c) + c(c – b) = (a – c)(b – c) D 23·(4 – 2a) + c·(1 – b) = 92 – 46a + c – bc 79 Berechne. a. 3·(4 – 2) + 3·3 – 4·5 + 1 = c. 5 – (7 + 3·(6 – 5)·2 + 9 – 2)·3 = b. 3·(4 – (2 + 3)·3 – 4·(5 + 1)) = d. 4 + 2 – 3·2 – 5·3 – 4 + 7·4 = 80 Berechne. a. 5 – 7 + 3·6 – 5·2 + 9 – 2·3 = c. 4 + (2 – 3)·2 – 5·(3 – 4) + 7·4 = b. 5 – (7 + 3)·6 – 5·2 + (9 – 2)·3 = d. 4 + ((2 – 3)·2 – 5)·3 – (4 + 7)·4 = Assoziativ- gesetz Kommutativ- gesetz Distributiv- gesetz B herausheben D D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv