Mathematik HTL 1, Schulbuch

238 Elementare Geometrie der Ebene und des Raumes Winkel Ein Winkel ist durch zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt gegeben. Wir nennen die Halbgeraden Schenkel des Winkels und den gemeinsamen Anfangspunkt S Scheitel des Winkels. Zeichnet man einen Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt S, dann wird der Kreis durch die zwei Halbgeraden in zwei Kreisbögen geteilt. Wir nennen die Länge des kürzeren Kreisbogens das Bogenmaß dieses Winkels. Das Bogenmaß ist eine Zahl zwischen 0 und π . Ist diese Zahl c, dann sagen wir, das Bogenmaß des Winkels ist c Radiant (abgekürzt: c rad) oder einfach c. Das Bogenmaß π _ 180 rad nennen wir 1 Grad (abgekürzt: 1°). Mit d° bezeichnen wir dann das d-Fache von 1°. Wenn d eine Zahl zwischen 0 und 180 ist, dann ist d π _ 180 eine Zahl zwischen 0 und π . Wir sagen, ein Winkel mit Bogenmaß d π _ 180 rad hat das Gradmaß d Grad (abgekürzt: d°). 1° = π _ 180 rad und d° = d π _ 180 rad , wobei 0 ª d ª 180 ist, und 1 rad = 180 _ π ° und c rad = c · 180 _ π ° , wobei 0 ª c ª π ist. 1 _ 60 von 1° nennt man 1 (Winkel-) Minute (Schreibweise: 1’) und 1 _ 60 von 1 (Winkel-)Minute nennt man 1 (Winkel-) Sekunde (Schreibweise: 1’’). Wir fassen zwei Winkel als gleich auf, wenn sie das gleiche Bogenmaß (und damit auch das gleiche Gradmaß) haben. Deshalb sagen wir im Weiteren oft einfach „der Winkel c rad “ oder „der Winkel c“ bzw. „der Winkel d°“ und meinen damit irgendeinen Winkel mit dem Bogenmaß c rad bzw. dem Gradmaß d°. Wenn S der Scheitel eines Winkels, P ≠ S ein Punkt auf einem seiner Schenkel und Q ≠ S ein Punkt auf dem anderen Schenkel ist, dann nennen wir diesen Winkel auch Winkel zwischen P und Q mit Scheitel S oder Winkel zwischen den Strecken SP und SQ . Häufig schreiben wir dafür ½ PSQ oder ½ QSP. Den Winkel π _ 2 rad bzw. 90° nennen wir rechten Winkel . Wenn der Winkel zwischen den Punkten P und Q mit Scheitel S ein rechter Winkel ist, dann sagen wir, dass die Gerade durch S und P und die Gerade durch S und Q (oder die Strecke SP und die Strecke SQ) auf- einander normal stehen. Ein Koordinatensystem heißt rechtwinkelig , wenn die Koordinatenachsen aufeinander normal stehen. In Zeichnungen kennzeichnen wir rechte Winkel so: ¾ Einen Winkel mit Winkelmaß kleiner als 90° nennen wir einen spitzen Winkel , einen Winkel mit Winkelmaß größer als 90° einen stumpfen Winkel . 1° 1 rad Winkel 1° Winkel 1 rad rechter Winkel spitzer Winkel stumpfer Winkel Winkel S r = 1 Bogenmaß Radiant Gradmaß gleiche Winkel S P Q rechter Winkel S P Q spitzer und stumpfer Winkel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv