Mathematik HTL 1, Schulbuch

228 Funktionen 960 Berechne 3 + x _ x – 4 + 5 _ x + 2 . Die rationale Funktion 3 + x _ x – 4 hat den Definitionsbereich R \{4}, die rationale Funktion 5 _ x + 2 hat den Definitionsbereich R \{‒ 2}. Bei der rationalen Funktion 3 + x _ x – 4 + 5 _ x + 2 darf aber als Argument weder 4 noch ‒ 2 auftreten, daher ist R \{‒ 2, 4} der Definitionsbereich von p. 3 + x _ x – 4 + 5 _ x + 2 = (3 + x)(x + 2) + 5(x – 4) ___ (x – 4)(x + 2) = 3x + 6 + x 2 + 2x + 5x – 20 ____ x 2 + 2x – 4x – 8 = x 2 + 10x – 14 __ x 2 – 2x – 8 Wenn weder f und g das Nullpolynom sind, dann ist wegen f _ g · g _ f = f·g _ g·f = 1 die rationale Funktion g _ f die zu f _ g inverse Funktion. Wir können also durch alle von der Nullfunktion verschiedenen rationalen Funktionen dividieren. Dabei gelten auch dieselben Rechenregeln wie für rationale Zahlen. 961 Berechne x + 4 _ x + 3 : x – 4 _ x – 7 . Die Nullstellen ‒ 3 und 7 der Nenner dürfen im Definitionsbereich nicht vorkommen. Wegen f _ g : r _ s = f _ g · s _ r ist x + 4 _ x + 3 : x – 4 _ x – 7 = (x + 4)(x – 7) __ (x + 3)(x – 4) , daher ist auch 4 auszuschließen. Diese rationale Funktion hat also den Definitionsbereich R \{‒ 3, 4, 7}. Wenn man möchte, kann man die Produkte im Zähler und im Nenner berechnen und erhält x + 4 _ x + 3 : x – 4 _ x – 7 = (x + 4)(x – 7) __ (x + 3)(x – 4) = x 2 – 3x – 28 __ x 2 – x – 12 . Achtung Durch das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von rationalen Funktionen entsteht eine neue rationale Funktion, die meist einen anderen Definitionsbereich hat als die Ausgangsfunktionen. Tipp Das Rechnen mit rationalen Funktionen wird vereinfacht, wenn wir die Ausgangsfunktionen vorher kürzen. 962 Überprüfe, ob die rationalen Funktionen gleich sind. a. x 3 – 5x 2 + 1 __ x 2 + 4x – 1 und 3x 2 + 8 _ 3x – 1 b. x + 1 __ 2x 3 – 2x 2 + 8 und x – 1 __ 2x 3 + 2x 2 – 8 c. 3x 2 – 3 _ x + 1 und 12(x 2 – x) __ 4x 963 Berechne das Produkt der rationalen Funktionen. Achte darauf, dass du möglichst zuerst kürzt, und dann erst multiplizierst. a. 10x 2 – 5x __ 3(x + 1) · 6x 3 + 6x 2 __ 5x 3 c. x 2 – 5 2 _ (x + 5) 3 · (x + 5) 2 _ (x – 5) 2 b. x 2 – 2x + 1 __ 3x · 6x 3 – 3x __ x – 1 d. (x + 3) 3 _ x 2 + 1 · x 2 __ x 2 + 6x + 9 · x 4 – 1 _ x 4 + 3x 3 964 Berechne den Quotienten der rationalen Funktionen. Gib den Definitionsbereich der zwei rationalen Funktionen und des Quotienten an. a. 6x 3 _ x – 2 : 18x _ x + 5 c. 7x + 4 _ 2x – 1 : 3x + 5 _ 4x – 2 b. 2x – 9 _ 3x + 1 : x _ x + 3 d. x 2 + 8x + 16 __ 3x + 2 : x 2 – 16 _ x 965 Berechne die Summe bzw. Differenz der rationalen Funktionen. Gib den Definitionsbereich der zwei rationalen Funktionen und ihrer Summe bzw. Differenz an. Kürze, wenn möglich. a. x + 4 _ 6x 3 + x – 1 _ 4x c. 1 _ (x + 5) 2 – 1 _ x 2 – 5 2 b. 3x __ 8x 2 + 4x + x – 2 _ 2x + 1 d. 2x + 1 _ 4x 2 + x – 1 __ x(x + 1) 2 – x + 2 _ 4x + 4 B rationale Funktionen addieren B rationale Funktionen dividieren D B B B ggb/mcd/tns nu4mg5 ggb/mcd/tns z23fd6 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv