Mathematik HTL 1, Schulbuch

227 4.5 Rechnen mit Polynomen und Bruchtermen Beispiel : Die Nullstellen von x 2 – 2 sind ‒ 9 _ 2 und 9 _ 2. Der Quotient der Polynomfunktionen (x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1) und (x 2 – 2) ist die rationale Funktion R \{‒ 9 _ 2, 9 _ 2 } ¥ R , z ¦ z 4 + 2z 3 – 2z 2 + z – 1 ___ z 2 – 2 . Sind f und g zwei Polynome, g nicht das Nullpolynom, und D die Menge aller reellen Zahlen, die nicht Nullstellen von g sind, dann ist die Funktion f _ g : D ¥ R , z ¦ f(z) _ g(z) sinnvoll definiert, weil für alle Elemente z des Definitionsbereichs g(z) ≠ 0 ist und daher durch g(z) dividiert werden kann. Wir nennen die Funktion f _ g rationale Funktion mit Zähler f und Nenner g. Häufig wird eine rationale Funktion als Bruchterm bezeichnet. Nur wenn der Zähler das Nullpolynom ist, ist die rationale Funktion die Nullfunktion, die aller- dings dann nicht R sondern D als Definitionsbereich hat! Jedes Polynom f kann wegen f = f _ 1 auch als rationale Funktion betrachtet werden. Wir betrachten zwei rationale Funktionen f _ g und r _ s als gleich , wenn für alle reellen Zahlen, die weder Nullstellen von g noch von s sind, gilt: 2 f _ g 3 (z) = 2 r _ s 3 (z) Wir verzichten bei der Gleichheit von rationalen Funktionen also auf die Bedingung, dass die Definitionsbereiche gleich sein müssen. f _ g und r _ s sind also genau dann gleich, wenn f·s = g·r ist. Für jedes von 0 verschiedene Polynom h sind die rationalen Funktionen f·h _ g·h und f _ g gleich. Wie bei rationalen Zahlen bedeutet „eine rationale Funktion durch das Polynom h kürzen“ von der Darstellung fh _ gh dieser rationalen Funktion zu der durch Zähler f und Nenner g überzugehen. Der Definitionsbereich kann dabei größer werden, weil man die Nullstellen von h nicht mehr weglassen muss. Beispiel: Die rationale Funktion x 2 + x _ x 3 – x = x(x + 1) __ x(x – 1)(x + 1) = 1 _ x – 1 hat den Definitionsbereich R \{1}. Mit rationalen Funktionen können wir ähnlich wie mit rationalen Zahlen, die durch Zähler und Nenner dargestellt sind, rechnen. Wenn wir rationale Funktionen f _ g und r _ s addieren, subtrahieren oder multiplizieren, dann erhalten wir wieder rationale Funktionen: f _ g + r _ s = f·s + g·r __ g·s f _ g – r _ s = f·s – g·r __ g·s f _ g · r _ s = f·r _ g·s Die Definitionsbereiche sind der Definitionsbereich von 1 _ g·s . Es „fallen also sowohl die Nullstellen von g als auch von s aus dem Definitionsbereich heraus“. Weil aber g und s Polynome sind, haben wir so nur endlich viele Zahlen aus dem Definitions- bereich verloren. Es kann also nicht vorkommen, dass der Definitionsbereich des Produktes zweier rationaler Funktionen leer wird. rationale Funktion Bruchterm Gleichheit rationaler Funktionen Addition, Subtraktion und Multiplikation rationaler Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv