Mathematik HTL 1, Schulbuch

226 Funktionen Der Graph eines Polynoms vom Grad n kann also höchstens n Schnittpunkte mit der x-Achse haben. Die im Bild (Seite 225) gezeichneten Graphen der Funktionen f, g und h haben, falls diese Polynom- funktionen sind, mindestens die Grade 2, 3 und 4. Wenn der Graph einer Funktion zum Beispiel die x-Achse in den Punkten (n, 0), für alle ganzen Zahlen n, schneidet, dann kann diese Funktion keine Polynomfunktion sein. 956 Schreibe eine Polynomfunktion an, die den Grad 3 und genau zwei Nullstellen hat. Die Polynomfunktion (x – 1) 2 (x – 2) = x 3 – 4x 2 + 5x – 2 hat die Nullstellen 1 und 2 und Grad 3. Beachte: Es gibt Polynome, die keine reellen Zahlen als Nullstellen haben (zum Beispiel das Polynom x 2 + 1) und Polynome f, die weniger als gr(f) Nullstellen haben (zum Beispiel hat das Polynom x 99 nur eine Nullstelle, nämlich 0, aber den Grad 99). 957 Schreibe je drei Polynomfunktionen an, die den Grad n und genau k Nullstellen haben. a. n = 5, k = 3 b. n = 4, k = 4 c. n = 2, k = 0 958 Die folgenden drei Bilder zeigen Graphen von Polynomfunktionen. a. Ermittle ihre Nullstellen aus den Bildern. b. Welchen Grad müssen diese Polynomfunktionen mindestens haben? Begründe. I. II. III. 959 Zeichne mit einem CAS oder GTR den Graphen der Polynomfunktion. Ermittle daraus, wie viele Nullstellen sie hat. a. x 4 + x 2 – 6 b. x 6 + x 3 – 6 c. x 5 + 2x 3 – 9 _ 2 x 2 – 2x + 1 Bruchterme Im Abschnitt über das Rechnen mit Funktionen haben wir auch den Quotienten f _ g von zwei Funktionen f und g von einer Teilmenge M von R nach R gebildet. Für alle z aus M haben wir 2 f _ g 3 (z) als f(z) _ g(z) definiert. Das ist allerdings nur möglich, wenn g in M keine Nullstellen hat. Wir können aber vereinbaren, dass wir aus dem Definitionsbereich von f und g alle Nullstellen von g herausnehmen und f _ g als Funktion mit diesem kleineren Definitionsbereich betrachten. Beispiel: Die einzige Nullstelle der identischen Funktion x ist 0, daher ist der Definitions- bereich des Quotienten 1 _ x die Menge R \{0}. Wenn die Nullstellenmenge einer Funktion „groß“ ist, hat es wenig Sinn, durch diese Funktion zu dividieren. Wir hätten dann zu viel vom Definitionsbereich verloren. Von Polynomfunktionen f, die nicht die Nullfunktion sind, wissen wir, dass sie höchstens gr(f) Nullstellen haben. Auf diese Zahlen können wir im Definitionsbereich verzichten. x y 1 1 2 3 4 0 A A C, D A B C A B C D A B C D E 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv