Mathematik HTL 1, Schulbuch

225 4.5 Rechnen mit Polynomen und Bruchtermen Wie viele Nullstellen kann ein Polynom haben? Wie bei ganzen Zahlen können wir auch bei Polynomen von Teilern und Vielfachen sprechen. Wenn ein Polynom f das Produkt von zwei Polynomen g und h ist, dann heißt f = g·h ein Vielfaches von g und von h. Die Polynome g und h heißen Teiler von f. Man sagt auch: g und h teilen f. Beispiele: Das Polynom x  2 – 1 = (x – 1)·(x + 1) ist ein Vielfaches von x + 1 und von x – 1. Die Polynome x + 1 und x – 1 sind Teiler von x 2 – 1. 1, x, x  2 und x 3 sind Teiler von x 3 , weil x 3 = x·x 2 = 1·x 3 ist. 2x ist Teiler von x, weil x =  1 _ 2 ·(2x) ist. Tipp Um nachzuprüfen, ob ein Polynom g Teiler eines Polynoms f ist, dividieren wir f mit Rest durch g. Genau dann, wenn der Rest gleich 0 ist, ist g ein Teiler von f. Wir bezeichnen mit f ein Polynom und mit a eine reelle Zahl. Wir dividieren f mit Rest durch x – a: f = q·(x – a) + r und [r = 0 oder gr(r) < gr(x – a)]. Wegen gr(x – a) = 1 bedeutet [r = 0 oder gr(r) < gr(x – a)], dass r eine konstante Funktion ist. Berechnen wir den Funktionswert von f an der Stelle a, erhalten wir f(a) = q(a)·(a – a) + r = 0 + r, also ist der Rest von f nach Division durch x – a der Funktionswert f(a) von f zum Argument a. Daraus folgt: Genau dann ist a eine Nullstelle von f, wenn x – a ein Teiler von f ist, das heißt, wenn es ein Polynom g so gibt, dass f = (x – a)·g ist. Ist b eine andere Nullstelle von f, dann muss 0 = f(b) = (b – a)·g(b) sein. Weil b – a nicht 0 ist, muss g(b) = 0, also b eine Nullstelle von g sein. Daraus folgt, dass es ein Polynom h gibt so, dass g = (x – b)·h ist. Somit ist f = (x – a)·g = (x – a)·(x – b)·h und der Grad von f ist 2 + gr(h). Wenn also f mindestens zwei Nullstellen hat, hat f mindestens den Grad 2. Zum Beispiel wird jedes Polynom, das die Zahlen 0 und 1 als Nullstellen hat, von x(x – 1) geteilt. Gibt es weitere Nullstellen, dann können wir die Überlegungen oben weiterführen und erhalten die folgende wichtige Eigenschaft von Polynomen: Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Insbesondere haben alle Polynome mit Ausnahme von 0 nur endlich viele Nullstellen. Vielfaches und Teiler B A B C A B C D A f g h 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 ggb b2sk83 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv