Mathematik HTL 1, Schulbuch

224 Funktionen Nullstellen Wir nennen ein Element a einer Menge M eine Nullstelle von f: M ¥ R , wenn f(a) = 0 ist. Für eine Funktion f von R nach R können wir die Nullstellen leicht aus dem Graphen ablesen. Die Zahl a ist genau dann eine Nullstelle von f, wenn (a 1 0) im Graphen von f enthalten ist. Die Nullstellen von f sind daher die ersten Koordinaten der Schnittpunkte der x-Achse mit dem Graphen von f. Beispiele:  Eine von 0 verschiedene konstante Funktion hat keine Null- stellen. Alle Elemente des Definitionsbereichs sind Nullstellen der  konstanten Funktion 0. Die lineare Funktion f mit f(z) =  1 _ 3 z + 1 hat die Nullstelle ‒ 3. Der Graph von f schneidet die x-Achse im Punkt (‒ 3 1 0). Die Menge der Nullstellen des Produktes f·g zweier Funktionen f: M ¥ R und g: M ¥ R ist die Vereinigung der Mengen der Nullstellen von f und von g. Denn: Wenn a eine Nullstelle von f·g ist, dann ist f(a)·g(a) = 0. Ein Produkt von reellen Zahlen ist nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Also muss a eine Nullstelle von f oder von g sein. Ist umgekehrt a ein Nullstelle von f oder von g, dann ist f(a) = 0 oder g(a) = 0 und daher ist in jedem Fall (f·g)(a) = f(a)·g(a) = 0. Wenn c eine von 0 verschiedene Zahl ist und f: M ¥ R eine Funktion, dann haben f und c·f dieselben Nullstellen. 950 Berechne, falls es eine gibt, die Nullstelle der linearen Funktion f mit f(z) = kz + d, von der wir die angegebenen Daten kennen und zeichne den Graphen von f. a. k = 2; d = ‒ 3 b. f(2) = ‒ 2; f(5) = 1 c. k = 1; f(3) = 3 d. k = 0; d = 1 951 Berechne alle Nullstellen der Polynomfunktion. a. 2(x + 3)(x – 2)(x + 1) c. ‒ 99876(x – 7)(3x + 2) b. (3x – 4)(2x + 3)(4x – 1)x d. 12345(2x – 3)(2x – 3) 952 Welche der Polynome haben die Nullstellen ‒ 2 und 3? A (x + 2)(x + 3) C (x – 2)(x + 3) E x 2 – x – 6 G 4x 3 – 4x 2 – 24 B 12(x + 2)(x – 3) D 17x(x – 2)(x + 3) F x 2 + x – 6 H 8x 2 + 8x – 48 953 Begründe: Wenn k nicht 0 ist, hat die lineare Funktion f mit f(z) = kz + d genau eine Nullstelle in R , und zwar ‒ d _ k . 954 Berechne die Menge aller Nullstellen der Funktion. Zeichne den Graphen der Funktion. a. f: R ¥ R , z ¦ z – † z † b. g: R ¥ R , z ¦ z + † z † 955 Zeichne den Graphen der Polynomfunktion mithilfe eines CAS oder GTR und bestimme damit alle Nullstellen. a. x 2 + x – 6 b. 1 _ 4 x 3 – 3 _ 4 x 2 – 3 _ 2 x + 2 c. x 4 + 1 _ 2 x 3 – 9 d. 2x 2 – 2x + 2 Nullstelle einer Funktion 0 x y 1 -1 - 2 - 3 2 3 4 3 5 2 1 - 3 - 2 -1 (a 1 0) y x 0 - 2 -1 1 2 3 - 3 1 2 f 3 - 2 -1 (- 3 1 0) Nullstellen des Produkts von Funktionen Nullstellen des Vielfachen einer Funktion B B D D B B ggb wx437m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv