Mathematik HTL 1, Schulbuch

223 4.5 Rechnen mit Polynomen und Bruchtermen Wir formulieren wie bei der Division mit Rest von Zahlen: Zu zwei Polynomen f und g, wobei g nicht 0 ist, gibt es immer zwei (eindeutig bestimmte) Polynome q und r so, dass f = q·g + r ist, wobei r das Nullpolynom ist oder der Grad von r kleiner als der Grad von q ist. Das Polynom q heißt dann polynomialer Quotient und das Polynom r Rest von f nach Division mit Rest durch g. Oft schreiben wir f : g für den polynomialen Quotienten q. Wie bei der Division mit Rest von Zahlen werden auch bei der Division mit Rest von Polynomen die Subtraktionen meist platzsparend untereinander geschrieben. 946 Dividiere x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1 mit Rest durch x 2 – 2. Wir notieren ausführlich die Vorgangsweise beim 1. Rechenschritt und geben dann das vollstän- dige Rechenschema an: 1. Rechenschritt: Der Grad von x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1 ist größer als der Grad von x 2 – 2. Wir müssen x 2 – 2 mit x 2 multiplizieren, damit die Leitmonome gleich sind. (x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1) : (x 2 – 2) = x 2 ‒ (x 4 – 2x 2 ) 2x 3 + x – 1 Wir wiederholen die Vorgangsweise aus dem 1. Schritt mit der Differenz und dem Divisor, bis der Grad der Differenz kleiner als der Grad des Divisors oder die Differenz 0 ist. So erhalten wir: (x 4 + 2x 3 – x 2 + x – 1) : (x 2 – 2) = x 2 + 2x ‒ (x 4 – 2x 2 ) (2x 3 + x – 1) ‒ (2x 3 – 4x) 5x – 1 Rest Also: x 4 + 2x 3 – x 2 + x – 1 = (x 2 + 2x)(x 2 – 2) + 5x – 1 Der polynomiale Quotient von x 4 + 2x 3 – x 2 + x – 1 nach Division durch x 2 – 2 ist x 2 + 2x, der Rest ist 5x – 1. 947 Bei der Polynomdivision bleibt kein Rest. Berechne den polinomialen Quotienten. a. (6x 2 – 13x – 28) : (3x + 4) c. (2x 5 – 29x 4 + 37x 3 – 58x 2 + 35x – 18) : (4x 2 – 3x + 2) b. (7x 3 + 51x 2 – 14x – 8) : (7x + 2) d. (12x 6 – 12x 5 + x 4 + 31x 3 – 37x + 15x – 2) : (2x 3 – 3x 2 + 4x – 1) 948 Dividiere mit Rest (berechne den Quotienten und den Rest). a. (x 3 – 6x 2 + 12x – 10) : (x – 3) d. (x 3 – 4x 2 + 7x – 7) : (x 2 – 2x + 1) b. (2x 3 – 3x + 10) : (x + 2) e. (2x 4 + 5x 3 – x 2 + 4x – 2) : (x + 3) c. (x 3 – 1,5x 2 + 4x + 1) : (2x + 1) f. 2 1 _ 3 x 3 – 2x 3 : 2 1 _ 4 x + 1 3 949 Bei dieser Division mit Rest von Polynomen wurden Fehler gemacht. Finde sie und stelle die Rechnung richtig. (3x 4 – x 3 – 2x 2 + x – 1) : (x 2 + 1) = 3x 2 – x – 5 ‒ (3x 4 + 3x 2 ) ‒ x 3 – 5x 2 – (‒ x 3 – x) ‒ 5x 2 + x – (‒ 5x 2 – 5) x + 5 Rest Division mit Rest von Polynomen B Polynome mit Rest dividieren B B D mcd/tns m993x9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv