Mathematik HTL 1, Schulbuch

222 Funktionen Division mit Rest von Polynomen Wir können Polynome nicht nur addieren, subtrahieren und multiplizieren. Bei Polynomen ist auch die Division mit Rest möglich. Damit ist das Rechnen mit Polynomen dem mit ganzen Zahlen sehr ähnlich. Wir erinnern uns: Wenn wir zum Beispiel 98 mit Rest durch 27 dividieren wollen, subtrahieren wir 27 so oft, bis eine Zahl übrig bleibt, die kleiner als 27 und nicht negativ ist. Die Anzahl der Subtraktionen ist dann der ganzzahlige Quotient, die Zahl, die übrig bleibt, ist der Rest. 98 > 27, also rechnen wir: 98 – 27 = 71 1-mal subtrahiert 71 > 27, also rechnen wir: 71 – 27 = 44 1-mal subtrahiert 44 > 27, also rechnen wir: 44 – 27 = 17 1-mal subtrahiert 17 < 27 und nicht negativ, daher sind wir fertig. Bei jeder Subtraktion wurde der Minuend kleiner. Wir haben 1 + 1 + 1 = 3-mal subtrahiert, 17 ist übrig geblieben. Daher ist 98 = 3·27 + 17, 3 ist der ganzzahlige Quotient und 17 der Rest (von 98 nach Division durch 27). Sowohl Dividend und Divisor als auch Quotient und Rest sind natürliche Zahlen. Wenn wir dieses Rechenverfahren auf Polynome übertragen wollen, müssen wir drei Dinge beachten: Bei der Division mit Rest von Polynomen sind sowohl Dividend, Divisor als auch „polynomialer  Quotient“ und Rest Polynome. Es hat keinen Sinn, zu sagen, dass ein Polynom „kleiner“ als ein anderes ist. Wir fordern statt-  dessen, dass der Grad des Rest-Polynoms kleiner ist als der Grad des Divisor-Polynoms, oder dass das Rest-Polynom das Nullpolynom ist. Die Differenz von Polynomen hat nur dann geringeren Grad als der größere der Grade von  Minuend und Subtrahend, wenn Minuend und Subtrahend das gleiche Leitmonom haben. Wenn also beim Subtrahieren der Grad der Differenz kleiner werden soll, müssen wir meistens den Subtrahenden mit einem geeigneten Monom multiplizieren. Wir erklären die Division mit Rest von Polynomen anhand der folgenden Musteraufgabe. 945 Dividiere das Polynom x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1 mit Rest durch das Polynom x 2 – 2. Der Grad von x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1 ist größer als der Grad von x 2 – 2. Wir müssen g mit x 2 multiplizieren, damit die Leitmonome von x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1 und x 2 ·(x 2 – 2) gleich sind. (x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1) – x 2 (x 2 – 2) = 2x 3 + x – 1 x 2 -mal subtrahiert . Der Grad von 2x 3 + x – 1 ist größer als der Grad von x 2 – 2. Wir müssen g mit 2x multiplizieren, damit die Leitmonome von 2x 3 + x – 1 und 2x(x 2 – 2) gleich sind. (2x 3 + x – 1) – 2x(x 2 – 2) = 5x – 1 2x-mal subtrahiert . Der Grad von 5x‒1 ist kleiner als der Grad von x 2 ‒ 2, daher sind wir fertig. Wir haben (x 2 + 2x)-mal subtrahiert, 5x – 1 ist übriggeblieben. Der Quotient von x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1 und x 2 – 2 ist x 2 + 2x und der Rest nach Division ist 5x – 1, also: x 4 + 2x 3 – 2x 2 + x – 1 = (x 2 + 2x)(x 2 – 2) + (5x – 1). B Polynome mit Rest dividieren mcd/tns r4s2dt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv