Mathematik HTL 1, Schulbuch

220 Funktionen Beispiele: Die Polynome mit Grad 0 sind die konstanten Funktionen  R ¥ R , z ¦ c, c ≠ 0. Die Polynome mit Grad 1 sind die linearen Funktionen  R ¥ R , z ¦ k·z + d, mit k ≠ 0. Beachte, dass der Grad des Nullpolynoms undefiniert bleibt. Der Funktionswert einer Zahl z bezüglich des Polynoms c n x n + c n – 1 x n – 1 + … + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 ist die Zahl c n z n + c n – 1 z n – 1 + … + c 2 z 2 + c 1 z + c 0 . Um diese Zahl zu berechnen, müssen nur einige Additionen und Multiplikationen ausgeführt werden. 935 Bestimme den Grad, das Leitmonom und die Koeffizienten des Polynoms ‒ x 2 + 2x + 4. gr(‒ x 2 + 2x + 4) = 2 ® k(‒ x 2 + 2x + 4) = ‒1 Das Leitmonom ist ‒ x 2 . Der nullte Koeffizient ist 4, der erste Koeffizient ist 2 und der zweite Koeffizient ist der Leitkoeffizient ‒1. Wir überlegen nun, was herauskommt, wenn wir Polynomfunktionen addieren, subtrahieren oder multiplizieren: 936 Gegeben sind die drei Polynome p = ‒ x 2 + 2x + 4, q = 4x – 2 und r = ‒ x 2 – 1. Berechne p + q, p + r, q + r, p – q, p – r, q – r, p·q, p·r, q·r. p + q = (‒ x 2 + 2x + 4) + (4x – 2) = ‒ x 2 + 6x + 2 p + r = (‒ x 2 + 2x + 4) + (‒ x 2 – 1) = ‒ 2x 2 + 2x + 3 q + r = (4x – 2) + (‒ x 2 – 1) = ‒ x 2 + 4x – 3 p – q = (‒ x 2 + 2x + 4) – (4x – 2) = ‒ x 2 ‒ 2x + 6 p – r = (‒ x 2 + 2x + 4) – (‒ x 2 – 1) = 2x + 5 q – r = (4x – 2) – (‒ x 2 – 1) = x 2 + 4x – 1 p·q = (‒ x 2 + 2x + 4)·(4x – 2) = ‒ 4x 3 + 3x 2 + 8x 2 – 4x + 16x ‒ 8 = ‒ 4x 3 + 10x 2 + 12x – 8 p·r = (‒ x 2 + 2x + 4)·(‒ x 2 – 1) = x 4 + x 2 – 2x 3 – 2x – 4x 2 ‒ 4 = x 4 – 2x 3 ‒ 3x 2 ‒ 2x – 4 q·r = (4x – 2)·(‒ x 2 – 1) = ‒ 4x 3 + 2x 2 – 4x + 2 Wir machen dabei die folgenden, für beliebige Polynome nachprüfbaren Beobachtungen:  Summe, Differenz und Produkt von Polynomen sind stets wieder Polynome. Für zwei vom Nullpolynom verschiedene Polynome p 1 und p 2 gilt: Wenn p  1 ± p 2 nicht das Nullpolynom ist und gr(p 1 ) ª gr(p 2 ) ist, dann ist gr(p 1 ± p 2 ) ª gr(p 2 ). Der Grad der Summe (oder Differenz) ist kleiner oder gleich dem größeren Grad der Summanden. Genau dann, wenn p  1 und p 2 ≠ p 1 den gleichen Grad und den gleichen Leitkoeffizienten haben, ist der Grad der Differenz p 1 – p 2 kleiner als der Grad von p 1 und p 2 . gr(p  1 ·p 2 ) = gr(p 1 ) + gr(p 2 ) Der Grad des Produkts ist die Summe der Grade. ®  k(p 1 ·p 2 ) = ® k(p 1 )· ® k(p 2 ) Der Leitkoeffizient des Produkts ist das Produkt der Leitkoeffzienten. C Grad, Leitmonom und Koeffizienten eines Polynoms bestimmen B Polynome addieren, subtrahieren und multiplizieren Eigenschaften von Polynomen ggb ug85wt ggb/mcd/tns 3y9c54 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv