Mathematik HTL 1, Schulbuch

219 4.5 Rechnen mit Polynomen und Bruchtermen Das Produkt x n ·x m der Potenzfunktionen x n und x m ist die Potenzfunktion x n + m . Vielfache von Potenzfunktionen, wie zum Beispiel 2x 4 oder ‒ 3x 2 , nennen wir Monome . Wenn wir Vielfache von Potenzfunktionen, also Monome, addieren, wie zum Beispiel 4x 4 – 7x 2 + 7x + 4, so nennen wir die Summe Polynomfunktion . Mit dem Begriff der Linearkombination, den wir in Abschnitt 3.1 beim Rechnen mit Zeilen und Spalten kennengelernt haben, formulieren wir das so: Sind Zahlen c 0 , c 1 , c 2 , …, c n – 1 , c n gegeben, dann können wir die Linearkombination c n x n + c n – 1 x n – 1 + … + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 bilden. Diese ist wieder eine Funktion R ¥ R , z ¦ c n z n + c n – 1 z n – 1 + … + c 2 z 2 + c 1 z 1 + c 0 und heißt Polynomfunktion oder kurz Polynom . Die Zahlen c 0 , c 1 , c 2 , …, c n – 1 , c n heißen Koeffizienten des Polynoms. c 0 ist der nullte , c 1 der erste , …, c n der n-te Koeffizient . Man kann zeigen (wir tun es aber hier nicht), dass jedes Polynom auf genau eine Weise als Linearkombination von Potenzfunktionen geschrieben werden kann. Wenn also c m x m + c m – 1 x m – 1 + … + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 = d n x n + d n – 1 x n – 1 + … + d 2 x 2 + d 1 x + d 0 ist, dann muss m = n und c 0 = d 0 , c 1 = d 1 , … , c n = d n sein. Daher gibt es in jedem Polynom eine Potenz, deren Exponent am größten ist und die mit einem Koeffizienten c n ≠ 0 multipliziert wird. Diesen Koeffizienten c n ≠ 0 nennen wir den Leitkoeffizienten des Polynoms p, kurz ® k(p). Den größten Exponenten, der bei der Polynomfunktion p auftritt, nennen wir den Grad von p, kurz gr(p). Das Monom ® k(p)x gr(p) nennen wir dann das Leitmonom von p. Produkt Monom Polynom- funktion Koeffizienten Leitkoeffizient Grad eines Polynoms Leitmonom Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv