Mathematik HTL 1, Schulbuch

215 4.4 Rechnen mit Funktionen Regeln für das Rechnen mit Funktionen Wir haben das Rechnen mit Funktionen punktweise durch das Rechnen mit Funktionswerten, also Zahlen definiert. Daher gelten für das Rechnen mit Funktionen ähnliche Regeln wie für das Rechnen mit Zahlen. Wir legen zunächst fest: Wie beim Rechnen mit Zahlen vereinbaren wir, dass wir mit f·g + f·h die Funktion (f·g) + (f·h) meinen, also dass wir immer zuerst multiplizieren und dann addieren („Punktrechnung kommt vor Strichrechnung“). Wie bei Zahlen verwenden wir auch bei Funktionen die Potenzschreibweise für mehrfache Multiplikation, also f 2 für f·f, f 3 für f·f·f usw. Eine Funktion von M nach R , die allen Elementen von M dieselbe Zahl c zuordnet, nennen wir eine konstante Funktion oder kurz eine Konstante . Häufig bezeichnet man diese Funktion dann einfach mit der Zahl c. Wir können dann zum Beispiel 3 als Zahl auffassen oder als die Funktion von M nach R , die jedem Element von M die Zahl 3 zuordnet. Das 3-Fache einer Funktion f ist dann dieselbe Funktion wie das Produkt der konstanten Funktion 3 mit f. Wir brauchen uns im Weiteren nicht mehr mit Rechenregeln für das Bilden des Vielfachen einer Funktion zu befassen, weil wir das als Spezialfall der Multiplikation von Funktionen betrachten können. Besonders wichtige konstante Funktionen sind die Null- und die Einsfunktion. Für die Funktion, deren Funktionswerte alle 0 sind, schreiben wir auch 0 und nennen sie die Nullfunktion : 0: R ¥ R , z ¦ 0 für jedes Element z von M. Für die Funktion, deren Funktionswerte alle 1 sind, schreiben wir auch 1 und nennen sie die Einsfunktion : 1: R ¥ R , z ¦ 1 für jedes Element z von M. Für drei Funktionen f, g und h von einer Menge M nach R gelten die folgenden Rechenregeln: (f + g) + h = f + (g + h) (f·g)·h = f·(g·h) Beim mehrfachen Addieren bzw. Multiplizieren von Funktionen kommt es auf die Reihenfolge des Addierens bzw. Multiplizierens nicht an. Klammern können weggelassen werden. f + g = g + f f·g = g·f Beim Addieren bzw. Multiplizieren von Funktionen kön- nen die Summanden bzw. Faktoren vertauscht werden. f·(g + h) = f·g + f·h Wir können Funktionen ausmultiplizieren : Übergang von f·(g + h) zu f·g + f·h und herausheben : Übergang von f·g + f·h zu f·(g + h). Achtung Beim Dividieren von Funktionen müssen wir besonders aufpassen: Wir dürfen nur dann eine Funktion f durch eine Funktion g dividieren, wenn für alle Elemente a des Definitionsbereiches gilt: g(a) ≠ 0. Das bedeutet: Auch wenn eine Funktion nicht die Nullfunktion ist, kann das Dividieren Probleme bereiten. Vorrangregel Potenz- schreibweise konstante Funktion x -1 - 2 1 2 y 0 -1 - 2 1 2 Graph(1) Graph(0) Nullfunktion Einsfunktion Assoziativ- gesetz Kommutativ- gesetz Distributiv- gesetz Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv