Mathematik HTL 1, Schulbuch

206 Funktionen Lineare Kostenfunktionen Die Kostenfunktion für die Erzeugung eines Produktes ordnet der Anzahl der produzierten Einheiten die Gesamtkosten für diese Produktion zu. Oft ist diese Funktion linear. Bei der Erzeugung eines bestimmten Produkts fallen Fixkosten (z.B. Monatsgehälter, Abschreibung von Maschinen …) und proportionale Kosten , also Kosten, die zur Anzahl der produzierten Einheiten proportional sind (z.B. Material, Energieverbrauch …), an. Die Gesamtkosten K(x) für die Erzeugung von x Einheiten des Produkts sind dann die Summe der Fixkosten F und der proportionalen Kosten k·x K(x) = k·x + F. Dabei bezeichnet k die proportionalen Kosten für die Produktion einer Einheit. Die Stückkosten oder Durchschnittskosten _ K(x) für die Produktion von x Einheiten sind die Gesamtkosten geteilt durch die Anzahl der produzierten Einheiten _ K(x) = K(x) _ x . Verkauft ein Betrieb eine Einheit seiner Ware zum Preis p, so ist der beim Verkauf von x Einheiten erzielte Erlös E(x) = p·x („Erlös ist Preis mal Menge“). Unter dem Gewinn bei x Einheiten versteht man den Erlös abzüglich der Kosten: G(x) = E(x) – K(x) („Gewinn ist Erlös minus Kosten“). Der Break-Even-Point ist die Anzahl der Einheiten einer Ware, bei der der Erlös und die Kosten gleich sind. Ab dieser Produktionsmenge deckt der Erlös die Kosten. Ist x der Break-Even-Point, dann gilt: E(x) = K(x) bzw. E(x) – K(x) = 0 bzw. G(x) = 0. 889 Die Fixkosten eines kleinen Betriebes betragen pro Monat 12000€. Die proportionalen Kosten betragen 4,50€ pro Stück, der Verkaufspreis beträgt 10€ pro Stück. a. Wie groß sind die Gesamtkosten und die Stückkosten bei einer Produktionsmenge von 1 000, 2000, …, 5000 Stück? Zeichne den Graphen der Stückkostenfunktion _ K. b. Berechne den Break-Even-Point. c. Bei welcher Produktionsmenge kann man mit einem Gewinn von 5000€ rechnen? a. K(x) = 4,5x + 12000 _ K(x) = K(x) _ x = 4,5x + 12000 __ x _ K(x) = 4,5 + 12000 _ x x K(x) _ K(x) 1 000 16500 16,5 2000 21 000 10,5 3000 25500 8,5 4000 30000 7,5 5000 34500 6,9 Je mehr produziert wird, desto kleiner werden die Stückkosten. b. E(x) = p·x E(x) = 10x E(x) = K(x) 10x = 4,5x + 12000 x = 12000 _ 5,5 ≈ 2181,82 Da man bei einer geringeren Produktionsmenge noch Verlust machen würde, wird der Break- Even-Point stets aufgerundet. Der Break-Even-Point liegt bei einer Produktion von 2182 Stück. Kostenfunktion Fixkosten proportionale Kosten Gesamtkosten Stückkosten Erlös Gewinn Break-Even- Point B Kosten, Stückkosten, Break-Even- Point und Gewinn berechnen x y 0 2 4 6 8 10 12 14 16 3000 4000 5000 2000 1000 ggb/xls/tns b78h2k Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv