Mathematik HTL 1, Schulbuch

202 Funktionen 878 Ein Öltank mit 6000 ® Fassungsvermögen wird gleichmäßig mit Heizöl gefüllt. Nach 6min sind 2100 ® im Tank, eine Viertelstunde später 4350 ® . Wie lange dauert es, bis der Tank voll ist? Clara rechnet so: Wegen der Gleichmäßigkeit kann das Problem durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Das Füllvolumen nach t Minuten ist f(t) = k·t + d. Laut Angabe ist f(6) = 2100 und f(21) = 4350. Daher ist 2100 = k·6 + d und 4350 = k·21 + d. Sie ersetzt die zweite Gleichung durch die Differenz der zweiten und der ersten, und erhält 2100 = k·6 + d und 2250 = k·15 Daher ist k = 150 und d = 1 200, die gesuchte Funktion ist also f: R ¥ R , t ¦ 150·t + 1 200. Der Tank ist voll, wenn f(t) = 6000 ist, das heißt, wenn 6000 = 150·t + 1 200 ist. Clara berechnet daraus, dass t = 24 ist. Folglich ist der Tank nach 24min gefüllt. Achim rechnet so: Nach 6 min sind 2100 ® im Tank. Pro Minute fließen 2100 : 6 = 350 ® in den Tank, in t min daher 350·t ® . Das Füllvolumen des Tanks nach tmin ist also 350·t ® . Der Tank ist voll, wenn das Füll- volumen 6000 ® beträgt, das heißt, wenn 6000 = 350·t ist. Daraus berechnet er t = 120 _ 7 ≈ 17,1, das heißt, der Tank ist nach etwas mehr als 17min gefüllt. Clara und Achim haben zwei unterschiedliche Ergebnisse berechnet – das kann nicht stimmen! Was ist richtig? Was ist falsch? Begründe. Stückweise lineare Funktionen Bei einem Pizzazustelldienst kostet jede Pizza 7,50€ und die Zustellgebühr pro Bestellung beträgt 1,50€. Ab 5 bestellten Pizzen entfällt die Zustellgebühr. Der Gesamtpreis p(z) in Euro für z Pizzen beträgt 0, wenn z = 0 ist, 7,50z + 1,50, wenn z < 5 ist und 7,50z, wenn z º 5 ist. Wir können also die Funktion, die der Zahl z den Gesamtpreis für z bestellte Pizzen zuordnet, so anschreiben: p: N ¥ R , z ¦ { 0 für z = 0 7,50z + 1,50 für 0 < z < 5 7,50z für z º 5 Wir haben diese Funktion aus verschiedenen linearen Funktionen „zusammengestückelt“. Ist f eine Funktion von R nach R , M eine Teilmenge von R und g eine Funktion von M nach R , dann nennen wir g die Einschränkung von f auf M, wenn für alle z * M gilt: g(z) = f(z). Eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R heißt stückweise lineare Funktion , wenn wir ihren Definitionsbereich so in endlich viele Intervalle, Punkte oder Halbgeraden zerlegen können, dass die Einschränkung von f auf jede dieser Teilmengen gleich der Einschränkung einer linearen Funktion auf diese Teilmenge ist. D Einschränkung einer Funktion stückweise lineare Funktion ggb 85hk25 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv