Mathematik HTL 1, Schulbuch

197 4.3 Lineare Funktionen Der Graph der Funktion ist wieder eine Gerade, allerdings verläuft diese Gerade nicht durch den Nullpunkt. Das ist leicht einzusehen, es ist ja Graph(p) = {(z 1 9,90·z + 7,50) ‡ z * R} = {(0 1 7,5) + z·(1 1 9,90) ‡ z * R} die Gerade durch den Punkt (0 1 7,5), die zur Geraden durch (0 1 0) und (1 1 9,90) parallel ist. Da nur eine positive ganze Anzahl von Lesetexten bestellt werden kann, lässt sich der Definitions- bereich genauer durch N und der Wertebereich genauer durch R + beschreiben. 0 darf als Argument nicht zugelassen werden, da p(0) = 7,5 ist, was bedeuten würde, dass man, auch wenn man nichts bestellt, 7,50€ bezahlen müsste. Also erhalten wir p: N \{0} ¦ R + , z ¦ 9,90z + 7,50. Sind d und k reelle Zahlen, dann nennen wir die Funktion f: R ¥ R , z ¦ k·z + d eine lineare Funktion . Wir bezeichnen k als Änderungsrate von f oder Steigung ihres Graphen. Diese lineare Funktion ist genau dann homogen, wenn d = 0 ist. Eine lineare Funktion f: R ¥ R , z ¦ k·z + d hat die folgenden Eigenschaften:  f(0) = d Denn: f(0) = k·0 + d = d  f(1) = d + k Denn: f(1) = k·1 + d = d + k  Eine lineare Funktion von R nach R ist durch die zwei reellen Zahlen k und d eindeutig festgelegt. Diese sind durch die Funktionswerte von 0 und 1 eindeutig bestimmt. Denn: d = f(0) und k = f(1) – d = f(1) – f(0)  Für jede reelle Zahl a ist f(a + 1) = f(a) + k . Denn: f(a + 1) = k·(a + 1) + d = k·a + d + k = f(a) + k Wird das Argument einer linearen Funktion um 1 größer, ändert sich der Funktionswert um k. Es ist daher sinnvoll, auch bei beliebigen linearen Funktionen die Zahl k als Änderungsrate der Funktion zu bezeichnen.  Wegen Graph(f) = {(z 1 k·z + d) ‡ z * R} = {(0 1 d) + z·(1 1 k) ‡ z * R} ist der Graph einer linearen Funktion eine Gerade durch (0, d), die parallel ist zu {z·(1 1 k) ‡ z * R} , dem Graphen der Funktion g mit g(z) = k·z. Die zweite Koordinatenachse wird oft Ordinate genannt. Wir bezeichnen d daher als Ordinatenabschnitt von f . Wegen Graph(f) = {(z 1 k·z + d) ‡ z * R} = {(x 1 y) ‡ x, y * R , y = k·x + d}, ist Graph(f) die Lösungsmenge der linearen Gleichung mit zwei Unbekannten y = k·x + d oder ‒ k·x + y = d. Die Gleichung der Geraden Graph(f) ist also y = k·x + d. Da f durch Graph(f) eindeutig bestimmt ist, nennen wir diese lineare Gleichung auch oft die Funktionsgleichung von f.  Zum Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion genügt es, einen von (0 1 d) verschiedenen Punkt (z 1 f(z)) des Graphen zu berechnen und die Gerade durch diesen Punkt und den Punkt (0 1 d) zu zeichnen. lineare Funktion Änderungsrate Steigung Eigenschaften linearer Funktionen x y 0 1 a k d f(a) f(a) f(a + 1) = f(a) + k k a + 1 1 d (1 1 d + k) Ordinate Ordinaten- abschnitt Funktions- gleichung ggb 8w7cj6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv