Mathematik HTL 1, Schulbuch

193 4.2 Homogene lineare Funktionen Etwas ganz Anderes: Indirekte Proportionalität Zwei Größen sind zueinander direkt proportional, wenn ein Zusammenhang zwischen ihnen besteht, den wir durch eine homogene lineare Funktion beschreiben können. Das heißt, wenn die eine Größe verdoppelt, verdreifacht… wird, dann wird auch die zu ihr proportionale andere Größe verdoppelt, verdreifacht … Es gibt aber auch Zusammenhänge, bei denen das genau umgekehrt ist. Wenn zum Beispiel 2 Arbeiter eine Arbeit in 6 Stunden erledigen, dann brauchen 4 Arbeiter für diese Arbeit nur 3 Stunden. Wenn der Zusammenhang zwischen zwei Größen durch eine Funktion der Art f: R + ¥ R + , z ¦ k _ z , wobei k eine von 0 verschiedene reelle Zahl ist, beschrieben werden kann, dann sagen wir, dass diese Größen zueinander indirekt proportional sind. Dass sich diese Funktion grundlegend von homogen linearen Funktionen unterscheidet, können wir an der Darstellung von Graph(f) in einem Koordinatensystem sehen. Dieser ist keine Gerade mehr. Tipp Wenn wir entscheiden wollen, ob zwei Größen indirekt proportional sind, müssen wir überlegen: Wenn ich die erste Größe verdopple, verdreifache, oder allgemein mit einer von 0 verschiedenen Zahl c multipliziere, wird dann die zweite Größe halbiert, gedrittelt oder allgemein mit 1 _ c multipliziert? 842 5 Arbeiter erledigen eine Arbeit in 7 Stunden. Wie lange brauchen 3 Arbeiter für dieselbe Arbeit? Wir möchten den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Arbeiter und der nötigen Arbeitszeit bestimmen. Für die Zeit wählen wir eine Stunde als Einheit, und beschreiben den Zusammenhang durch die Funktion f: N ¥ R , a ¦ Anzahl der Stunden, die a Arbeiter für die Arbeit benötigen. Wir überlegen: Wenn doppelt, dreimal … so viele Arbeiter tätig sind, ist die Arbeit dann in der halben Zeit, in einem Drittel der Zeit … erledigt? Das wird nur dann der Fall sein, wenn die Arbei- ter genug Platz haben, sonst stehen sie einander im Weg und die Arbeit verlangsamt sich. Außer- dem müssen wir annehmen, dass jeder der Arbeiter in einer Stunde gleich viel arbeitet. Wir müssen daher bei jeder Aufgabe genau überlegen, ob Proportionalität tatsächlich gegeben ist! Wenn wir aber (zumeist vereinfachend) annehmen, dass die Anzahl der für die Arbeit nötigen Stunden zur Anzahl der Arbeiter indirekt proportional ist, dann ist f(a) = k _ a , für eine geeignete Zahl k. Diese Zahl k können wir berechnen, weil wir wissen, dass f(5) = 7 ist. Daher ist k _ 5 = 7 und k = 35. Damit ist f(a) = 35 _ a , insbesondere f(3) = 35 _ 3 . 3 Arbeiter würden also 35 _ 3 Stunden brauchen. Das sind 11 Stunden und 40 Minuten. 843 Vier Schneiderinnen benötigen 8 Stunden, um 20 Hemden herzustellen. Wie lange brauchen fünf Schneiderinnen dafür? 844 20 Kamele kommen mit einem gewissen Futtervorrat 12 Tage lang aus. Wie lange würde der Vorrat für 24 Kamele reichen? indirekt proportional x 1 y 0 1 A, B einen indirekt proportionalen Zusammenhang beschreiben A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv