Mathematik HTL 1, Schulbuch

19 1.2 Die Zahlen der Zahlengeraden: Reelle Zahlen Ich lerne Konstruktionen auf der Zahlengeraden zu verwenden, um Rechnungen für beliebig gewählte reelle Zahlen zu überprüfen. Ich lerne die Rechenregeln für reelle Zahlen zielgerichtet und sicher anzuwenden. Rechnen mit Punkten auf der Zahlengeraden Wenn wir zum Beispiel 5 von 2 subtrahieren wollen oder 3 durch 4 dividieren wollen, müssen wir den Bereich der natürlichen Zahlen verlassen und „neue Zahlen“ verwenden. Mit vielen dieser „neu- en Zahlen“ hast du schon bisher gerechnet und sie als Punkte auf der „Zahlengeraden“ aufgefasst. Wir überlegen uns nun, wie man alle Punkte auf einer Geraden als Zahlen auffassen kann und geben dazu an, wie diese Zahlen addiert und multipliziert werden können. Wir zeichnen eine Gerade auf ein Zeichenblatt und wählen zwei Punkte, die wir 0 und 1 nennen. Durch 0 wird die Zahlengerade in zwei Halbgeraden zerlegt. Die Halbgerade, auf der sich 1 befindet, nennen wir die positive Halbgerade , die andere die negative Halbgerade . Wir nehmen den Abstand zwischen 0 und 1 in einen Zirkel und tragen ihn von 1 in Richtung der positiven Halbgeraden auf. Dann erhalten wir einen neuen Punkt, welcher der Zahl 2 entspricht. Wir tragen dann denselben Abstand von 2 wieder in Richtung der positiven Halbgeraden auf und erhalten einen Punkt, der der Zahl 3 entspricht. Wiederholen wir das mehrfach, können wir beliebig viele natürliche Zahlen auf der Geraden einzeichnen. So können wir jeder natürlichen Zahl einen Punkt auf der Zahlengeraden zuordnen. Wir stechen mit der Spitze des Zirkels in 0 ein und schlagen den Abstand von 0 zu n auf der negativen Halbgeraden ab. Diesen Punkt nennen wir dann ‒n (in Worten: minus n). Wenn wir zu den natürlichen Zahlen die so auf der Geraden eingezeichneten Zahlen ‒1, ‒ 2, ‒ 3, ‒ 4 … dazunehmen, erhalten wir alle ganzen Zahlen . Addition Für zwei beliebige Punkte A und B auf der Zahlengeraden nehmen wir den Abstand von 0 zu B in den Zirkel, stechen mit der Spitze in A ein und schlagen in Richtung der positiven Halbgeraden ab, falls B auf der positiven Halbgeraden liegt, und   in Richtung der negativen Halbgeraden ab, falls B auf der negativen Halbgeraden liegt. Der Punkt, den wir so erhalten, nennen wir A + B, die Summe der Punkte A und B. A und B sind die Summanden von A + B. Die Punkte A und B addieren heißt, ihre Summe A + B ermitteln. 0 1 negative Halbgerade positive Halbgerade positive und negative Halbgerade ganze Zahlen - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 0 1 A B A + B Summe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv