Mathematik HTL 1, Schulbuch

189 4.2 Homogene lineare Funktionen Wenn wir den Funktionswert von f zu irgendeinem Argument z kennen, dann können wir  k = f(1) durch Lösen der linearen Gleichung f(z) = k·z berechnen. Wenn zum Beispiel f(2) = 4 ist, dann ist 4 = k·2, also k = 2, das heißt f: R ¥ R , z ¦ 2·z ist die gesuchte Funktion. Drei einfache Beispiele für homogen lineare Funktionen sind die folgenden: 0:  R ¥ R , z ¦ 0 ist die Funktion, die jeder Zahl z die Zahl 0 zuordnet. Wir nennen diese Funktion die Nullfunktion . Der Graph dieser Funktion ist die erste Koordinatenachse. Beachte, dass wir für diese Funktion dasselbe Zeichen wie für die Zahl Null verwenden. x:  R ¥ R , z ¦ z ist die Funktion, die jeder Zahl z wieder sich selbst zuordnet. Der Graph dieser Funktion ist die Gerade {c·(1 1 1) ‡ c * R} . Er wird auch 1. Mediane genannt. ‒ x:  R ¥ R , z ¦ ‒ z ist die Funktion, die jeder Zahl z die Zahl ‒ z zuordnet. Der Graph dieser Funktion ist die Gerade {c·(1 1 ‒1) ‡ c * R} . Er wird auch 2. Mediane genannt. Wenn wir den Zusammenhang von zwei Eigenschaften (wie oben zwischen Anzahl der Musik- titel und Preis) durch eine homogene lineare Funktion beschreiben (wie oben durch p), dann sagen wir, dass die erste Eigenschaft zur zweiten direkt proportional ist. Man sagt dann auch, dass wir für die Beschreibung dieses Zusammenhangs ein homogen- lineares Modell gewählt haben. 822 3 kg Äpfel kosten 6€, wie viel kosten 2 kg Äpfel? Wir müssen zuerst überlegen, ob Gewicht und Preis von Äpfeln direkt proportional sind, das heißt, ob wir diesen Zusammenhang durch eine homogene lineare Funktion beschreiben kön- nen. Dazu müssen wir überlegen: Wenn ich doppelt, dreimal, c-mal so viel Kilo Äpfel kaufe, zahle ich dann doppelt, dreimal, c-mal so viel? Oder gibt es Mengenrabatt oder eine Sonderaktion „Nimm drei, zahl zwei?“ Wenn wir uns dann für die Beschreibung des Zusammenhangs Gewicht-Preis durch eine lineare Funktion f mit f(z) = k·z entschieden haben, dann müssen wir die Änderungsrate k berechnen. k = f(1), also der Preis von 1 kg Äpfeln. Wir wissen, dass f(3) = 6 ist, also k·3 = 6, daher muss k = 2 sein. Nun berechnen wir den Funktionswert von f zum Argument 2. Wegen f(2) = k·2 = 2·2 kosten 2 kg Äpfel 4€. Beachte: Wir haben zuerst angenommen , dass der Zusammenhang zwischen Gewicht und Preis durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. Dann haben wir den Preis berechnet. Wenn wir nun in einem Geschäft, in dem 3 kg Äpfel 6€ kosten, für 2 kg einen anderen Preis als 4€ bezahlen müssen, dann haben wir uns nicht verrechnet, sondern das falsche Modell gewählt, das heißt, unsere Annahmen müssen verändert werden. 823 Welche der Funktionen sind homogen linear? Begründe. A f: R ¥ R , t ¦ 3t C h: R ¥ R , z ¦ z 2 B g: R ¥ R , y ¦ ‒ 3y D k: R ¥ R , t ¦ (t + 1) 2 – t 2 – 1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 1. Mediane 2. Mediane Graph(-x) Graph(x) direkt proportional homogen- lineares Modell A, B mit homogenen linearen Funktionen modellieren D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv