Mathematik HTL 1, Schulbuch

188 Funktionen Der Graph von p: R ¥ R , z ¦ 0,60·z ist Graph(p) = {(z 1 0,60·z) ‡ z * R} = {z·(1 1 0,60) ‡ z * R } also eine Gerade durch den Nullpunkt. Wir können immer nur eine natürliche Zahl von Musiktiteln herunterladen und müssen immer eine positive Anzahl an Euro bezahlen. Daher könnten wir die Zuordnung Anzahl –Preis genauer so modellieren: p: N ¥ R 0 + , z ¦ 0,60·z. Damit haben wir vereinbart, dass für die Anzahl z nur natürliche Zahlen in Frage kommen,  dass wir für den Preis p nur positive reelle Zahlen oder Null erhalten und  dass der Preis p mithilfe der einfachen Zuordnungsvorschrift p(z) = 0,60·z aus der Anzahl z  berechnet werden kann. Oft ist es aber nicht notwendig, den Definitionsbereich und den Wertebereich so genau zu beschreiben, dann ist es einfacher, zum Beispiel die Funktion p wie oben als Funktion von R nach R zu betrachten. Wir nennen eine Funktion der Art f: R ¥ R , z ¦ k·z eine homogene lineare Funktion. Die reelle Zahl k bezeichnen wir als Änderungsrate von f oder als Steigung des Graphen von f. Wegen f(a + 1) = k·(a + 1) = k·a + k = f(a) + k gibt die Zahl k an, wie sich der Funktionswert verändert, wenn wir zum Argument 1 addieren. Daher kommt der Name Änderungsrate. Wegen f(1) = k·1 = k ist die Änderungsrate von f der Funktionswert von f an der Stelle 1. Eine homogene lineare Funktion R ¥ R , z ¦ k·z hat die folgenden Eigenschaften: f(0) = 0  Denn: f(0) = k·0 = 0 f ist durch die Zahl k eindeutig bestimmt.  Sind c und z reelle Zahlen, dann ist  f(c·z) = c·f(z) . Denn: f(c·z) = k·(c·z) = c·k·z = c·f(z) Der Funktionswert eines Vielfachen ist das Vielfache des Funktionswerts. Umgekehrt ist jede Funktion g von R nach R mit dieser Eigenschaft eine homogene lineare Funktion mit Änderungsrate g(1). Denn: Für alle c ist g(c) = g(c·1) = c·g(1) = g(1)·c. Sind a und b reelle Zahlen, dann ist  f(a + b) = f(a) + f(b) . Denn: f(a + b) = k·(a + b) = k·a + k·b = f(a) + f(b) Der Funktionswert einer Summe ist die Summe der Funktionswerte.  (0 1 0) ist immer ein Element des Graphen von f. Der Graph von f ist die Gerade durch den Nullpunkt und durch (1 1 f(1)) = (1 1 k). Je größer k ist, desto „steiler“ ist diese Gerade, daher der Name „Steigung“ für k. Zum Zeichnen des Graphen einer homogene linearen  Funktion genügt es, die Punkte (0 1 0) und (1 1 k) einzuzeichnen und dann eine Gerade durch diese zwei Punkte zu zeichnen. homogene lineare Funktion Änderungsrate Steigung Eigenschaften einer homogenen linearen Funktion x y 0 1 1 (0 1 0) (1 1 k) ggb c299tv Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv