Mathematik HTL 1, Schulbuch

185 4.1 Was sind Funktionen? Wozu braucht man sie? 810 Berechne den Funktionswert an der angegebenen Stelle. a. g: R ¥ R , g(z) = ‒ 2z + 7; z = 3 b. q: R ¥ R , q(z) = z 2 – 3z + 8; z = ‒ 4 c. k: R ¥ R , k(z) = 3; z = 5 d. o: R 2 ¥ R , o(a, b) = 2a 2 π + 2ab π ; (a, b) = (2, 7) (rechne mit π ≈ 3,14) e. v: R 3 ¥ R , v(a 1 b 1 c) = abc; (a 1 b 1 c) = (2,5 1 2,5 1 2,5) 811 Erstelle eine Wertetabelle der Funktion von R nach R für alle ganzen Zahlen im angegebenen Intervall und zeichne die entsprechenden Punkte des Graphen der Funktion. a. f(x) = x 2 – 6x + 7, für x * [0; 6] d. g(x) = 0,2x 3 – 0,3x 2 – 2,6x + 2,35, für x * [‒ 4; 5] b. f: R ¥ R , x ¦ x 3 _ 4 – 3x, für x * [‒ 4; 4] e. u: R ¥ R , u(w) = ‒ w 3 _ 4 + 2w 2 – 3w – 1, für w * [‒1; 6] c. s(t) = t 4 _ 80 – t 2 _ 2 , für t * [‒7; 7] f. f(x) = x 5 _ 4 – 2x 3 + x, für x * [‒ 3; 3] 812 Erstelle mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms eine Wertetabelle für die Funktion von R nach R für alle ganzen Zahlen im angegebenen Intervall und zeichne die entsprechenden Punkte des Graphen der Funktion. a. f(x) = x 2 + 2x – 4, für x * [‒ 5; 5] c. g(x) = 0,1x 3 – 0,4x 2 + 1,8x + 1,7, für x * [‒ 5; 5] b. f: R ¥ R , x ¦ x 3 _ 3 + 3x, für x * [‒ 3; 3] d. u: R ¥ R , u(w) = ‒ w 3 _ 10 + w 2 _ 5 – 2w + 1, für w * [‒ 3; 5] Wann sind zwei Funktionen gleich? Wir betrachten nun die Funktionen a: R ¥ R , r ¦ r 2 + 2r + 1 b: R ¥ R , t ¦ (t + 1) 2 c: R ¥ R 0 + , s ¦ (s + 1) 2 . Die drei Funktionen ordnen jeder reellen Zahl z dieselbe Zahl zu, weil für jede reelle Zahl z die Zahlen b(z) = c(z) = (z + 1) 2 und a(z) = z 2 + 2z + 1 gleich sind. Die Wertebereiche von b und c sind verschieden, allerdings hat das für die Zuordnungsvorschrift keine Bedeutung, weil alle Funktionswerte von b in R 0 + enthalten sind. Dieser kleine Unterschied erscheint uns nicht als bedeutsam, wir werden davon absehen. Wir vereinbaren: Zwei Funktionen f und g sind genau dann gleich , wenn ihre Definitionsbereiche gleich sind und für alle Elemente z des Definitionsbereichs f(z) = g(z) ist. Wenn zwei Funktionen f und g gleich sind, dann sind für jedes Element z des Definitionsbereichs (von f und von g) auch die Paare (z, f(z)) und (z,g(z)) gleich. Daher sind auch die Graphen von f und g gleich. Also: Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn ihre Graphen gleich sind. 813 Überprüfe, welche der folgenden Funktionen gleich sind. f: R ¥ R , z ¦ z 2 – 2z + 2 h: R ¥ R 0 + , z ¦ (z + 1) 2 + 1 q: R ¥ R , z ¦ (z + 1) 2 + z g: R 0 + ¥ R , z ¦ (z + 1) 2 + 1 p: R 0 + ¥ R , z ¦ z 2 + 3z + 1 r: R ¥ R , z ¦ z 2 + 3z + 1 814 Fünf der angegebenen Funktionen sind gleich. Eine passt nicht dazu. Welche? Begründe. a. f: R ¥ R , x ¦ (x – 3) 2 + 4 b. f: R ¥ R 0 + , z ¦ ( z – 1) 2 c. f: R ¥ R , f(x) = 2·(x – 3) 2 g: R ¥ R 0 + , x ¦ (x – 3) 2 + 4 g: R ¥ R , g(z) = (z – 1)(z + 1) g: R ¥ R 0 + , q(x) = 2·(x – 3) 2 h: R ¥ R 0 + , z ¦ z 2 – 6 z + 13 h: R ¥ R , x ¦ x 2 – 1 h: R ¥ R , z ¦ ( 2z – 6) 2 i: R 0 + ¥ R , t ¦ (t – 3) 2 + 4 i: R ¥ R , i(s) = ‒ (1 – s 2 ) i: R ¥ R 0 + , z ¦ 2· ( 3 – z) 2 j: R ¥ R , j(x) = (x – 3) 2 + 4 j: R ¥ R , t ¦ (t – 1) 2 + 2t j: R ¥ R , j(s) = 2s 2 – 12s + 18 k: R ¥ R , k(x) = x(x – 6) + 13 k: R ¥ R , s ¦ s·s – 1·1 k: R ¥ R , q ¦ (2q – 6) (q – 3) B B B Gleichheit von Funktionen D D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv