Mathematik HTL 1, Schulbuch

174 Zusammenfassung Je zwei n-Tupel kann man addieren, jedes n-Tupel kann man mit Zahlen multiplizieren: (a 1 , a 2 , … , a n ) + (b 1 , b 2 , …, b n ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n + b n ) c·(a 1 , a 2 , …, a n ) = (c·a 1 , c·a 2 , … , c·a n ). Wählt man ein Koordinatensystem in der Ebene bzw. im Raum, dann kann man jedes Paar bzw. Tripel von reellen Zahlen als Punkt in der Ebene bzw. im Raum auffassen und umgekehrt. Dann kann man Punkte addieren und mit Zahlen multiplizieren. Die Menge der Vielfachen eines Punktes P ≠ 0 (in der Ebene oder im Raum) {c·P ‡ c * R} , ist die Gerade durch die Punkte 0 und P . Für zwei Punkte Q und P ≠ 0 ist die Menge {Q + c·P ‡ c * R} die Gerade durch den Punkt Q, die parallel zur Geraden {c·P ‡ c * R } liegt . Für zwei Punkte P, Q mit Q ≠ P ist die Menge {Q + c·(P – Q) ‡ c * R} die Gerade durch die Punkte P und Q . Für drei Punkte P, Q und R mit der Eigenschaft, dass P, Q und 0 nicht auf einer Geraden liegen, ist die Menge {R + c·P + d·Q ‡ c, d * R} die Ebene durch den Punkt R, die parallel zur Ebene {c·P + d·Q ‡ c, d * R } liegt . Für drei Punkte S, T und U im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen, ist die Menge {S + c·(T – S) + d·(U – S) ‡ c, d * R } die Ebene durch die Punkte S, T und U . Die Lösungsmenge der linearen Gleichung mit zwei Unbekannten ax + by = c ist die Gerade in der Ebene {(p, q) + c·(‒b, a) ‡ c * R} , wobei (p, q) irgendeine Lösung der Gleichung ist. Die Menge aller Lösungen der linearen Gleichung mit drei Unbekannten ax + by + cz = d ist die Ebene im Raum (falls a ≠ 0) {(p, q, r) + s·(‒b, a, 0) + t·(‒ c, 0, a) ‡ s, t * R }, wobei (p, q, r) irgendeine Lösung der Gleichung ist. Ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten kann keine, beliebig viele oder genau eine Lösung haben. Wenn es genau eine Lösung gibt, wird diese berechnet, indem das Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen auf die Form I) x = a und II) y = b gebracht wird. Wichtige Äquivalenzumformungen sind: Eine Gleichung des Gleichungssystems durch eine dazu äquivalente Gleichung ersetzen.  Zwei Gleichungen des Gleichungssystems vertauschen.  Eine Gleichung des Gleichungssystems durch die Summe dieser Gleichung und eines  Vielfachen einer anderen Gleichung ersetzen. Mit der gleichen Vorgangsweise, aber mit größerem Aufwand, können auch Systeme von drei oder mehr Gleichungen mit drei oder mehr Unbekannten gelöst werden. n-Tupel Geraden und Ebenen Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten Lösen linearer Gleichungs- systeme Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv