Mathematik HTL 1, Schulbuch

17 1.1 Natürliche Zahlen Primzahlen Wenn eine natürliche Zahl c das Produkt von zwei natürlichen Zahlen a und b ist, dann heißt c = a·b ein Vielfaches von a und von b und die Zahlen a und b heißen Teiler von c. Wir sagen auch, dass c durch die Zahlen a und b teilbar ist. Um zu überprüfen, ob b ein Teiler von c ist, dividieren wir c mit Rest durch b. Genau dann, wenn dieser Rest 0 ist, ist b ein Teiler von c. Beispiele:  20 = 4·5 ist ein Vielfaches von 4 und von 5; die Zahlen 4 und 5 sind Teiler von 20.  1 ist der einzige Teiler von 1.  Die Teiler von 2 sind 1 und 2.  Die Teiler von 6 sind 1, 2, 3 und 6. Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl , wenn sie genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und sich selbst. Die Zahlen 0 und 1 sind keine Primzahlen. Anstatt „p ist eine Primzahl“ sagt man oft „die Zahl p ist prim “. Die zehn kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Eine natürliche Zahl heißt gerade , wenn sie ein Vielfaches von 2 ist, ansonsten heißt sie ungerade . Folglich ist 2 die einzige gerade Primzahl! Wenn eine natürliche Zahl c größer als 1, aber keine Primzahl ist, dann muss c das Produkt a·b von zwei Zahlen a und b sein, die beide größer als 1 und kleiner als c sind. Für diese zwei Zahlen a und b gilt dann wieder: Entweder sind sie Primzahlen oder das Produkt von zwei noch kleineren Zahlen. Da die Teiler immer kleiner werden, landen wir auf diese Weise bei lauter Primzahlen, deren Produkt dann gleich c ist. Wir haben gezeigt: Jede natürliche Zahl c kann als Produkt von Primzahlen geschrieben werden, wir sprechen von der Primfaktorzerlegung der Zahl c. Die in der Primfaktorzerlegung auftretenden Primzahlen heißen die Primfaktoren von c. 50 Berechne die Primfaktorenzerlegung von 525. 525 ist keine Primzahl, weil zum Beispiel 525 = 15·35 (oder zum Beispiel 525 = 3·175) ist. Die Zahlen 15 und 35 sind nicht prim, weil 15 = 3·5 und 35 = 5·7 ist. Die Zahlen 3, 5 und 7 sind prim, daher ist 525 = 15·35 = 3·5·5·7. Die Primfaktorzerlegung von großen natürlichen Zahlen kann nur mit sehr großem Aufwand durchgeführt werden. Das Zerlegen einer Zahl in Primfaktoren gehört zu den aufwändigsten Problemen der Mathematik überhaupt. Viele Verfahren der Verschlüsselung beruhen darauf, dass genügend große Zahlen von allen Computern der Welt erst in hunderten von Jahren in Primfaktoren zerlegt werden können. 51 Schreibe die Zahl als Produkt von Primzahlen. a. 420 b. 4500 c. 12285 d. 34650 52 Untersuche, ob die angegebenen Primzahlen Teiler der Zahl sind. a. 2 und 5 von 1 890 c. 5, 13 und 19 von 67735 b. 7 und 23 von 57523 d. 11, 19 und 41 von 615615 Vielfaches Teiler Primzahl gerade ungerade Primfaktor- zerlegung B Primfaktor- zerlegung berechnen B B ggb/mcd gf86d2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv