Mathematik HTL 1, Schulbuch

161 3.6 Modellieren mit Systemen linearer Gleichungen Mischungsaufgaben 707 Herr Punschinger verkauft Punsch. Am Freitag mischt er 5 ® Orangenpunsch mit 4 ® Apfelpunsch zur 12%igen Spezialpunschmischung. Da der Alkoholgehalt zu hoch ist, und damit sein Absatz zu gering, mischt er am Samstag 4 ® Orangenpunsch mit 5 ® Apfelpunsch und erhält so eine Mischung mit 11% Alkoholgehalt. Wie viel Alkohol enthält nun eigentlich der Orangenpunsch und wie viel der Apfelpunsch? 1. Gesucht ist der Alkoholgehalt vom Orangenpunsch und der Alkoholgehalt vom Apfelpunsch. 2. Wir wählen für diese gesuchten Zahlen Namen, zum Beispiel o für den Alkoholgehalt vom Orangenpunsch und a für den Alkoholgehalt vom Apfelpunsch und stellen die Informationen übersichtlich in Tabellen dar. Punsch Volumen (in ® ) Alkoholgehalt (in %) Alkoholgehalt (in ® ) Orange 5 o o _ 100 ·5 Apfel 4 a a _ 100 ·4 Mischung 9 12 12 _ 100 ·9 Punsch Volumen (in ® ) Alkoholgehalt (in %) Alkoholgehalt (in ® ) Orange 4 o o _ 100 ·4 Apfel 5 a a _ 100 ·5 Mischung 9 11 11 _ 100 ·9 3. Der Alkoholgehalt (in ® ) in der Mischung muss gleich groß sein wie in den beiden Punschsorten. Wir können daher die beiden Bedingungen kurz so anschreiben: I) o _ 100 ·5 + a _ 100 ·4 = 12 _ 100 ·9 II) o _ 100 ·4 + a _ 100 ·4 = 11 _ 100 ·9 4. Wir lösen dieses System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten durch Diagonalisieren lösen. Zuerst multiplizieren wir beide Gleichungen mit 100. I) 5o + 4a = 108 | : 5 II) 4o + 5a = 99 I) o + 4 _ 5 a = 108 _ 5 II) 4o + 5a = 99 | II – 4·I I) o + 4 _ 5 a = 108 _ 5 II) 9 _ 5 a = 63 _ 5 | · 5 _ 9 I) o + 4 _ 5 a = 108 _ 5 | I – 4 _ 5 II II) a = 7 I) o = 16 II) a = 7 Das Ergebnis ist sinnvoll und wir formulieren: Der Orangenpunsch hat einen Alkoholgehalt von 16%, der Apfelpunsch einen Alkoholgehalt von 7%. 708 Zwei Sorten sortenreiner Apfelsaft sollen so vermischt werden, dass der Literpreis der Mischung 1,05€ beträgt. Die erste Sorte kostet 1,25€ die zweite 0,90€ je Liter. Berechne, wie viel Liter je Sorte man braucht, um 112 ® der gewünschten Mischung herzustellen. 709 Zwei Tonnen 35%ige Natronlauge sollen aus einer 50%igen Natronlauge und Wasser hergestellt werden. In welchem Verhältnis sind die 50%ige Natronlauge und das Wasser zu mischen? A, B eine Mischungs- aufgabe in ein System von 2 linearen Gleichungen mit 2 Unbekannten übersetzen A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv