Mathematik HTL 1, Schulbuch

159 3.6 Modellieren mit Systemen linearer Gleichungen 697 Auf einer großen Baustelle werden zwei Betonmischer mit unterschiedlicher Leistung eingesetzt. Arbeitet der erste Mischer 40min und der zweite Mischer 1 h, so produzieren sie insgesamt 48m 3 Beton. Arbeiten sie gemeinsam eine volle Stunde, so produzieren die beiden 54m 3 Beton. a. Wie viel Kubikmeter Beton erzeugt der leistungsstärkere Mischer in der Stunde? b. Berechne, wie lange die beiden Mischer gemeinsam brauchen, um 135m 3 Beton zu erzeugen. 698 Um einen Behälter mit 30h ® Inhalt zu entleeren, braucht eine Röhre 45min, eine andere nur 30min. a. In welcher Zeit entleeren die beiden Röhren gemeinsam den Behälter? b. Wie viel Liter entleert jede der beiden Röhren? Bewegungsaufgaben 699 Zwei Orte V und W sind 440km voneinander entfernt. Startet ein PKW von V nach W und zwei Stunden später ein LKW von W nach V, so begegnen sie einander nach zwei Stunden Fahrt des LKW. Fährt der PKW von V nach W und fährt der LKW 4 Stunden später von W aus in derselben Richtung wie der PKW, so überholt der PKW den LKW nach 10 Stunden Fahrt. Wie groß sind die mittleren Geschwindigkeiten der beiden Fahrzeuge? 1. Gesucht sind die mittleren Geschwindigkeiten des PKW und des LKW. 2. Wir wählen für diese unbekannten Zahlen Namen, zum Beispiel P für die mittlere Geschwindig- keit des PKW und L für die mittlere Geschwindigkeit des LKW, und stellen die Informationen in Tabellen dar: Geschwindigkeit (in km/h) Fahrzeit (in h) Strecke (in km) PKW P 4 4P LKW L 2 2L 3. Da die beiden Fahrzeuge aufeinander zufahren, ist die Summe der beiden Strecken, die sie zurücklegen, gleich der Entfernung von V nach W. Wir schreiben diese Bedingung kurz so an: 4·P + 2·L = 440 Geschwindigkeit (in km/h) Fahrzeit (in h) Strecke (in km) PKW P 10 10P LKW L 6 6L In diesem Fall fährt der PKW dem LKW hinterher. Der PKW muss daher zuerst die Strecke von V nach W zurücklegen, und dann noch die Strecke, die der LKW von W aus zurückgelegt hat. Der PKW fährt also um die Strecke von V nach W weiter als der LKW. Wir formulieren: 10P = 6L + 440 Wir erhalten so ein System von zwei linearen Gleichungen und lösen es durch Diagonalisieren. I) 4P + 2L = 440 | : 4 II) 10P – 6L = 440 I) P + 1 _ 2 L = 110 II) 10P – 6L = 440 | II – 10·I I) P + 1 _ 2 L = 110 II) ‒11L = ‒ 660 | : (‒11) I) P + 1 _ 2 L = 110 | I – 1 _ 2 II II) L = 60 I) P = 80 II) L = 60 Das Ergebnis ist sinnvoll und wir formulieren: Der PKW fährt mit der mittleren Geschwindigkeit von 80 km/h, der LKW mit der mittleren Geschwindigkeit von 60 km/h. A, B A, B A, B eine Bewegungs- aufgabe in ein System von 2 linearen Gleichungen mit 2 Unbekannten übersetzen ggb s2bk2h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv