Mathematik HTL 1, Schulbuch

158 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten Leistungsaufgaben 695 Zwei Rohre füllen einen Behälter, wenn das erste 15min und das zweite 24min geöffnet ist. Der Behälter ist aber ebenso voll, wenn man beide 10min offen lässt und das zweite Rohr dann noch weitere 22min offen hält. Wie lange würden beide Rohre alleine brauchen, um den Behälter zu füllen? 1. Gesucht ist die Zeit (in Minuten), die das erste Rohr allein geöffnet sein muss, um den Behälter zu füllen, und die Zeit (in Minuten), die das zweite Rohr allein geöffnet sein muss, um den Behälter zu füllen. 2. Wir wählen für diese unbekannten Zahlen Namen, zum Beispiel x für die Zeit, die das erste Rohr allein geöffnet sein muss, und y für die Zeit, die das zweite Rohr allein geöffnet sein muss, und stellen die Informationen übersichtlich in Tabellen dar. Volumen pro Minute Betriebsdauer (in min) Volumen während der Betriebsdauer Rohr 1 V _ x 15 15V _ x Rohr 2 V _ y 24 24V _ y Volumen pro Minute Betriebsdauer (in min) Volumen während der Betriebsdauer Rohr 1 V _ x 10 10V _ x Rohr 2 V _ y 32 32V _ y 3. In beiden Fällen transportieren die beiden Rohre während ihrer Betriebsdauer das gesamte Wasservolumen des Behälters, wir können daher die beiden Bedingungen kurz so anschreiben: I) 15V _ x + 24V _ y = V II) 10V _ x + 32V _ y = V Division beider Gleichungen durch V liefert ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten 1 _ x = a und bzw. 1 _ y = b, das wir durch Diagonalisieren lösen. I) 15a + 24b = 1 | : 15 II) 10a + 32b = 1 I) a + 8 _ 5 b = 1 _ 15 II) 10a + 32b = 1 | II – 10·I I) a + 8 _ 5 b = 1 _ 15 II) 16b = 1 _ 3 | : 16 I) a + 8 _ 5 b = 1 _ 15 | I – 8 _ 5 ·II II) b = 1 _ 48 I) a = 1 _ 30 II) b = 1 _ 48 Nun müssen wir noch x und y berechnen und erhalten x = 1 _ a = 30 und y = 1 _ b = 48. Das Ergebnis ist sinnvoll und wir formulieren: Das erste Rohr muss alleine 30min geöffnet sein, um den Behälter zu füllen, das zweite Rohr 48min. 696 Zwei Arbeiter hätten gemeinsam in 6 Tagen ihre Arbeit fertigstellen können. Da aber der zweite Arbeiter erst 2,5 Tage später als der erste anfing zu arbeiten, kann die Arbeit erst nach insgesamt 7 Tagen abgeschlossen werden. Wie lang hätte jeder alleine für die Arbeit gebraucht? A, B eine Leistungs- aufgabe in ein System von 2 linearen Gleichungen mit 2 Unbekannten übersetzen A, B ggb 7w68mn Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Ve lags öbv