Mathematik HTL 1, Schulbuch

153 3.6 Modellieren mit Systemen linearer Gleichungen Ich lerne zu entscheiden, ob ein System von linearen Gleichungen eine gegebene Problemstellung richtig beschreibt, und ich lerne meine Entscheidung zu begründen. Ich lerne eine durch Text beschriebene Problemstellung durch ein System von linearen Glei- chungen zu modellieren, eine Lösung zu berechnen und zu entscheiden, ob diese sinnvoll ist. Wir wissen jetzt, wie wir lineare Gleichungssysteme lösen können. In der praktischen Anwendung sind Gleichungssysteme aber vielfach nicht von vornherein gegeben, sondern müssen erst auf Grund einer Beschreibung der Problemstellung gefunden werden. Tipp Beim Übersetzen eines Textes in ein lineares Gleichungssystem gehen wir so vor: 1. Zuerst stellen wir fest, was gesucht wird. Das ist in den folgenden Beispielen immer ein Zahlentupel, das wir als Zeile oder Spalte anschreiben. 2. Den Komponenten des Zahlentupels geben wir Namen, zum Beispiel a, b … 3. Wir suchen im Text nach allen Bedingungen, die für a, b … gelten, und schreiben jede dieser Bedingungen möglichst kurz und übersichtlich an. In den folgenden Aufgaben erhalten wir auf diese Weise immer ein System von linearen Gleichungen mit zwei oder mehr Unbekannten. Dieses Gleichungssystem können wir lösen und überlegen, ob das Rechenergebnis sinnvoll ist. In diesem Fall formulieren wir eine Antwort auf die im Text gestellte Frage. Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten 656 In einem Jahr wird ein Vater 6-mal so alt wie sein Sohn sein. Vor einem Jahr war der Vater 8-mal so alt wie sein Sohn. Wie alt sind die beiden heute? 1. Gesucht sind das heutige Alter des Vaters und das heutige Alter des Sohnes. 2. Wir wählen für diese gesuchten Zahlen Namen: v für das Alter des Vaters und s für das Alter des Sohnes. 3. In einem Jahr wird dann der Vater v + 1 Jahre, der Sohn s + 1 Jahre alt sein. Laut Text wird dann der Vater 6-mal so alt sein wie der Sohn. Diese Bedingung können wir kurz so anschreiben: v + 1 = 6(s + 1) Vor einem Jahr war der Vater v – 1 Jahre, der Sohn s – 1 Jahre alt. Laut Text war da der Vater 8-mal so alt wie der Sohn. Diese Bedingung können wir kurz so anschreiben: v – 1 = 8(s – 1) Wir erhalten also ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten I) v + 1 = 6s + 6 II) v – 1 = 8s – 8 und lösen dieses durch Diagonalisieren. I) v – 6s = 5 II) v – 8s = ‒7 | II – I I) v – 6s = 5 II) ‒ 2s = ‒12 | : (‒ 2) I) v – 6s = 5 | I + 6·II II) s = 6 I) v = 41 II) s = 6 Das Rechenergebnis ist sinnvoll, wir formulieren: Heute ist der Vater 41 Jahre alt, der Sohn 6 Jahre. A, B einen Text in ein System von 2 linearen Gleichungen mit 2 Unbekannten übersetzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv