Mathematik HTL 1, Schulbuch

151 3.5 Systeme linearer Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten Gleichungssysteme, in denen die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Anzahl der Gleichungen, haben keine eindeutige Lösung, sondern entweder gar keine oder beliebig viele. Wie berechnen wir dann die Lösungsmenge? Wir betrachten ein Beispiel: 646 Finde alle 4-Tupel (x, y, z, w), für die gilt: I) 3x + 4y – 2z + w = 1 II) x – y + 3z + 4w = 2 Wir vereinfachen das Gleichungssystem so weit wie möglich. Zunächst vertauschen wir die bei- den Gleichungen, um in der ersten Gleichung 1 als Koeffizienten von x zu haben. I) x – y + 3z + 4w = 2 II) 3x + 4y – 2z + w = 1 | II – 3·I (um x zu eliminieren) I) x – y + 3z + 4w = 2 II) 7y – 11z – 11w = ‒ 5 | : 7 (um 1 als Koeffizient von y zu erhalten) I) x – y + 3z + 4w = 2 | I + II (um y zu eliminieren) II) y – 11 _ 7 z – 11 _ 7 w = ‒ 5 _ 7 I) x + 10 _ 7 z + 17 _ 7 w = 9 _ 7 II) y – 11 _ 7 z – 11 _ 7 w = ‒ 5 _ 7 Weiter können wir das Gleichungssystem aber nicht vereinfachen. Wir können die Zahlen z und w beliebig wählen, x und y sind dann eindeutig bestimmt. Die Lösungsmenge ist dann { 2 9 _ 7 – 10 _ 7 z – 17 _ 7 w, ‒ 5 _ 7 + 11 _ 7 z + 11 _ 7 w, z, w 3 † z, w * R } oder, anders geschrieben, { 2 9 _ 7 , ‒ 5 _ 7 , 0, 0 3 + z· 2 ‒ 10 _ 7 , 11 _ 7 , 1, 0 3 + w· 2 ‒ 17 _ 7 , 11 _ 7 , 0, 1 3 † z, w * R } . Man erhält also alle Lösungen, indem man zu einer Lösung beliebige Linearkombinationen von 2 ‒ 10 _ 7 , 11 _ 7 , 1, 0 3 und 2 ‒ 17 _ 7 , 11 _ 7 , 0, 1 3 addiert. 647 Löse das Gleichungssystem. Mach auch die Probe. a. I) 2w – 3x + 5y + 4z = 27 c. I) a + b + c + d = 1 e. I) 3r + 4s – 5t + 2u = ‒ 2 II) w – x + y – z = ‒ 2 II) 3a – 2b + c + 4d = ‒ 9 II) 4r – s + u = 2 III) 4w – 2x + y – 3z = ‒ 9 III) a + 4b – 5c – 8d = 7 III) 7r + 2s – t – 2u = 6 IV) 6w – 5x + 4y – 3z = ‒ 4 IV) 5a + 3b + 9c + 11d = 1 IV) r + s – t + u = 2 b. I) z 1 + z 3 = 6 d. I) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 f. I) y 1 + 2y 3 = 3 II) z 1 – z 4 = 1 II) 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = ‒ 3 II) y 1 + y 2 – 4y 3 + y 4 = ‒1 III) 2z 2 – z 3 – z 4 = ‒ 9 III) x 1 – x 2 = 1 _ 2 III) y 2 + y 4 = ‒1 IV) 3z 1 + 4z 2 + 2z 3 – z 4 = 5 IV) 3x 1 – 5x 4 = ‒ 6 IV) y 1 – 2y 2 + 6y 3 – y 4 = 10 648 Löse das Gleichungssystem. Mach auch die Probe. a. I) v + w + x + y + z = 15 c. I) a + b + c + d + e = 7 II) 5v – 4w + 3x – 2y + 1z = ‒ 4 II) 3a + 4b – c + 5d + 4e = 31 III) 4v – w – x + 2y – 1z = 2 III) 4a – b – c – d – e = ‒ 2 IV) 3v + 2w – x + 5y – 3z = 12 IV) 5a – 2b + 3c + 4d – 3e = 14 V) 7v – w + 4x + 3y – 4z = 4 V) a + 2b + 3c – 2d – e = ‒12 b. I) z 1 + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 = 4 d. I) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 6 II) z 1 + z 5 = 1 II) x 1 – x 3 = 4 III) z 1 – z 2 = ‒1,5 III) 2x 1 + 5x 4 = 9 IV) z 1 + 2 z 2 – 4z 3 = ‒10,5 IV) 2x 2 + 7x 5 = 4 V) z 1 – z 2 + 5z 3 + z 4 – z 5 = 11 V) x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 2 649 Die Aufgaben 647 und 648 erfordern viel Rechenarbeit. Lineare Gleichungssysteme lassen sich viel schneller mit einem geeigneten CAS lösen. Setze ein CAS ein, um diese Aufgaben zu lösen. B ein Gleichungs- system lösen, das weniger Gleichungen als Unbekannte hat B B B ggb 9dz6ac Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv