Mathematik HTL 1, Schulbuch

148 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten 641 Löse das System von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten. Mach auch die Probe. a. I) 1 _ 2 x + 1 _ 3 y + 1 _ 4 z = 23 _ 12 c. I) 1 _ 5 a – 1 _ 4 b + 3 _ 5 c = 2,7 II) 1 _ 3 x – 1 _ 2 y + 1 _ 4 z = 1 _ 12 II) ‒ 5 _ 4 a – 1 _ 5 b + 1 _ 2 c = 3,65 III) 1 _ 4 x – 1 _ 2 y – 1 _ 3 z = ‒ 7 _ 4 III) 1 _ 2 a + 1 _ 3 b + 2 _ 3 c = 3 _ 2 b. I) 1 _ 2 r + 1 _ 4 s – 3 _ 2 t = ‒ 3 _ 4 d. I) 3 _ 4 z 1 + 1 _ 2 z 2 – 1 _ 4 z 3 = ‒ 1 _ 4 II) 1 _ 4 r – 1 _ 2 s – 3 _ 4 t = 1 _ 4 II) 1 _ 4 z 1 + 3 _ 4 z 2 + 1 _ 2 z 3 = ‒ 1 _ 5 III) 3 _ 2 r – 3 _ 2 s + 1 _ 2 t = 5 _ 2 III) ‒ 5 _ 2 z 1 + 1 _ 2 z 2 + 3 _ 4 z 3 = ‒ 1 _ 2 642 Löse das System mit drei Unbekannten mithilfe eines CAS. a. I) x + y + z = 6 c. I) 1 846r + 5897s – 1 654t = 1 586427 II) 2x – y + 3z = 9 II) 25487r – 6875s + 8451t = 562471 III) 3x – 2y + z = 2 III) 6854r + 5876s – 9587t = 987541 b. I) 1 _ 2 a + 1 _ 3 b – 1 _ 5 c = 1 _ 7 d. I) 9 _ 7·z 1 + 9 __ 13·z 2 + π ·z 3 = 4 9 _ 3 II) 1 _ 4 a – 1 _ 5 b + 2 _ 7 c = 1 _ 3 II) 1 _ 9 _ 2 ·z 1 + 1 _ π ·z 2 – 9 _ 3·z 3 = π III) 2 _ 3 a – 2 _ 7 b – 1 _ 5 c = 1 _ 9 III) 9 _ 3·z 1 – 9 _ 5·z 2 – z 3 = 1 _ π Graphische Interpretation eines Systems von zwei oder drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit drei Unbekannten ist eine Ebene im Raum. Ein System von zwei linearen Gleichungen in drei Unbekannten lösen bedeutet daher, den Durchschnitt zweier Ebenen im Raum zu berechnen. Ein System von drei linearen Gleichungen in drei Unbekannten lösen bedeutet, den Durchschnitt von drei Ebenen im Raum zu berechnen. Wie die Abbildung zeigt, kann dieser Durchschnitt leer sein, ein Punkt sein, eine Gerade und sogar (wenn alle drei Ebenen gleich sind) eine Ebene sein. Wenn die Lösungsmenge eine Gerade ist, dann landen wir beim Diagonalisieren bei einem  Gleichungssystem der folgenden Form: I) x + 3z = 5 II) y + 2z = 4 III) 0 = 0 In diesem Fall können wir die Zahl z frei wählen, die Zahlen x und y sind dann durch z eindeutig bestimmt. Die Lösungsmenge ist dann die Gerade {(5 – 3z, 4 – 2z, z) ‡ z * R} , also {(5, 4, 0) + c·(‒ 3, ‒ 2, 1) ‡ c * R} . Die Gerade {c·(‒ 3, ‒ 2, 1) ‡ c * R } ist dabei die Lösung des entsprechenden homogenen Gleichungssystems. Wenn die Lösungsmenge eine Ebene ist, dann landen wir beim Diagonalisieren bei einem  Gleichungssystem der folgenden Form: I) x + 4y + 3z = 5 II) 0 = 0 III) 0 = 0 In diesem Fall ist die Lösungsmenge die Lösungsmenge der Gleichung x + 4y + 3z = 5 allein, also {(5, 0, 0) + c·(‒ 4, 1, 0) + d·(‒ 3, 0, 1) ‡ c, d * R} . B B S ggb y77k7m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv