Mathematik HTL 1, Schulbuch

146 3.5 Systeme linearer Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten Ich lerne ein eindeutig lösbares System von linearen Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten zu lösen und den Lösungsweg zu dokumentieren. Ich lerne zu entscheiden, ob die Lösungsmenge eines Systems von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten leer, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene ist, und ich lerne diese Entscheidung zu begründen. Ich lerne Lösungen eines Systems linearer Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten zu berechnen. Beim Lösen eines Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten spielen die erlaubten Umformungen eines Gleichungssystems eine zentrale Rolle. Wir haben diese Systeme durch Elimination von Unbekannten gelöst. Diese Methode können wir direkt auch auf Systeme von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten – oder allgemein auf m lineare Gleichungen mit n Unbekannten – übertragen. Systeme von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten Eine Aufgabe der Art „Finde alle Zahlentripel (a, b, c) so, dass I) 2a + 3b + 4c = 19 II) 3a + b – 2c = 2 III) ‒ 4a + 2b + 3c = 14 ist” nennen wir ein System von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten. Jedes solche Tripel (a, b, c) heißt dann Lösung dieses Gleichungssystems. Die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems heißt Lösungsmenge . Dieses Gleichungssystem lösen heißt, eine Beschreibung der Lösungsmenge zu finden. Wenn es nur eine Lösung gibt, heißt das, dieses Zahlentripel zu berechnen. Die Zahlen, mit denen die Unbekannten multipliziert werden, sind die Koeffizienten des Gleichungssystems. Tipp Um Systeme von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen, versuchen wir wieder, das System durch schrittweises Entfernen von Unbekannten aus den Gleichungen zu diagonalisieren. Wenn dann eine der neuen Gleichungen zu  0 = 1 äquivalent ist, hat das Gleichungssystem keine Lösung. Wenn eine der neuen Gleichungen zu  0 = 0 äquivalent ist, dann gibt es beliebig viele Lösungen. In den anderen Fällen erhalten wir schließlich ein Gleichungssystem wie zum Beispiel  I*) x = 4 II*) y = 5 III*) z = 1 und können das gesuchte Zahlentripel direkt ablesen. Dieses Gleichungssystem hat genau eine Lösung. System von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv