Mathematik HTL 1, Schulbuch

144 Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten Nun berechnen wir das ursprünglich gesuchte Zahlenpaar (a, b). Aus A = 1 _ 5 und 1 _ a + 3 = A erhalten wir: 1 _ a + 3 = 1 _ 5 | ·5·(a + 3) 5 = a + 3 | – 3 2 = a Aus B = 1 _ 2 und 1 _ 5 – b = B erhalten wir: 1 _ 5 – b = 1 _ 2 | ·2·(5 – b) 2 = 5 ‒b | – 5 ‒ 3 = ‒b | ·(‒1) 3 = b Das gesuchte Zahlenpaar (a, b) ist also (2, 3). 628 Wurde die Aufgabe richtig auf ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten zurückgeführt? Begründe die Antwort durch Durchführen von (möglichst wenig) Äquivalenz- umformungen. a. I) (2a – b) 2 – (2a + b) 2 = 3a – 8ab + b w I') 3a + b = 0 II) (a + 3b) 2 + 4 = a(a + 6b + 2) + b(9b – 5) II') 2a – 5b = 4 b. I) (x – 2)(x + 2) + y(y – 2x – 1) = (x – y) 2 + 4x – 3 w I') 4x + y = ‒1 II) (2y – 3x) 2 – (3x + 2y) 2 = 4x(3y + 1) + 3y(4x + 4) II') 4x + 12y = 0 c. I) 5s(5s + 2t) – (5s + t) 2 = t(7 + t) + 3(s + 1) w I') 7t + 3s = ‒ 3 II) (3s – 4)(3s + 4) + 2(3s + 4t) = (6s + t)t – (t + 3s) 2 II') 6s + 8t = 16 d. I) 5u + 3(r – 1) 2 = r(7 + 3r) + u + 4 w I') 6u – 5r = 4 II) 2r + 2r(8r + 4u) = (4r + u) 2 – u(u – 4) + 7 II') 2r – 4u = 7 629 Wurde die Aufgabe richtig auf ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten zurückgeführt? Begründe die Antwort durch Durchführen von (möglichst wenig) Äquivalenz- umformungen. a. I) 1 _ a + 1 _ b = 1 _ 2 w I') A + B = 2 mit A = 1 _ a und B = 1 _ b II) 3 _ a + 1 _ b = 1 I'') 3A + B = 1 b. I) 1 _ x‒2 + 1 _ y + 1 = 3 _ 2 w I') X + Y = 3 _ 2 mit X = 1 _ x – 2 und Y = 1 _ y + 1 II) 3 _ x – 2 – 2 _ y + 1 = 2 II') 3X – 2Y = 1 _ 2 c. I) 2 _ 5 + s + 1 _ 1 – t = 5 _ 6 w I') 2S + T = 5 _ 6 mit S = 1 _ 5 + s und T = 1 _ 1 – t II) 3 _ 5 + s – 2 _ 1 – t = 5 _ 6 II') 3S – 2T = 5 _ 6 d. I) 1 _ 2u + 4 + 3 _ 3r – 1 = 5 _ 3 w I') U + 3R = 5 mit U = 1 _ 2u + 4 und R = 1 _ 3r – 1 II) 3 _ 2u + 4 – 2 _ 3r – 1 = 5 _ 6 II') 3U – 2R = 5 630 Führe das Gleichungssystem auf ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten zurück und löse dieses. a. I) (3a – b) 2 – (3a + b) 2 = 3a – 12ab + b d. I) 1 _ a + 2 _ b = 2 II) (2a + 3b) 2 + 23 _ 3 = 4a(a + 3b + 2) + 3b(3b – 5) II) 3 _ a + 1 _ b = 7 _ 2 b. I) (x – 3)(x + 3) + y(y – 2x – 1) = (x – y) 2 + 4x – 3 e. I) 2 _ x – 3 + 1 _ y + 2 = 3 _ 2 II) (3y – 2x) 2 + 3 – (2x + 3y) 2 = ‒ 4x(3y + 1) – 3y(4x + 4) II) 3 _ x – 3 – 2 _ y + 2 = 1 _ 2 c. I) (v + 2w) 2 – (2v + w) 2 + 17 = 3(w + v)(w – v) + 4v – 3w f. I) 3 _ v + 8 _ w = 8 II) (2v + 3w)(v – 2w) + 7v – 6w = 2(v 2 – 3w 2 ) – vw + 32 II) 5 _ v + 12 _ w = 13 B, D B, D B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv