Mathematik HTL 1, Schulbuch

143 3.4 Systeme linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten Zurückführen gewisser Aufgaben auf Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten Gewisse Aufgaben können auf ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten zurückgeführt werden. Wir betrachten zwei typische Beispiele. 626 Löse das Gleichungssystem. I) (4a – 2) 2 – (4a – 3) 2 + 3(b + 10) = 4(a + 7) II) (a + 1)(a – 1) + (b + 3) 2 = a 2 + b 2 + 7a – 7 Durch Ausmultiplizieren erhalten wir zunächst das dazu äquivalente Gleichungssystem I) 16a 2 – 16a + 4 – (16a 2 – 24a + 9) + 3b + 30 = 4a + 28 II) a 2 – 1 + b 2 + 6b + 9 = a 2 + b 2 + 7a – 7 und durch Zusammenfassen das ebenfalls dazu äquivalente Gleichungssystem, das wir durch Diagonalisieren lösen. I) 4a + 3b = 3 | ·2 II) ‒7a + 6b = ‒15 I) 8a + 6b = 6 | I – II II) ‒7a + 6b = ‒15 I) 15a = 21 | : 15 II) ‒7a + 6b = ‒15 I) a = 7 _ 5 II) ‒7a + 6b = ‒15 | II + 7·I I) a = 7 _ 5 II) 6b = ‒ 26 _ 5 | : 6 I) a = 7 _ 5 II) b = ‒ 13 _ 15 627 Finde ein Zahlenpaar (a, b) so, dass I) 1 _ a + 3 + 2 _ 5 – b = 6 _ 5 II) 3 _ a + 3 – 1 _ 5 – b = 1 _ 10 ist. Wir können diese Aufgabe leicht lösen, wenn wir nicht a und b sondern 1 _ a + 3 und 1 _ 5 – b als Unbe- kannte auffassen. Dabei wird angenommen, dass a ≠ ‒ 3 und b ≠ 5 ist. Um weniger Schreibarbeit zu haben, geben wir der Unbekannten 1 _ a + 3 einen neuen Namen, zum Beispiel A. Auch 1 _ 5 – b geben wir einen neuen Namen, zum Beispiel B. So erhalten wir die Aufgabe „Finde ein Zahlenpaar (A, B) so, dass I) A + 2B = 6 _ 5 II) 3A – B = 1 _ 10 ist.” Wir sagen: „Wir haben 1 _ a + 3 und 1 _ 5 – b durch A und B ersetzt.” Diagonalisieren führt Schritt für Schritt auf die Gleichungssysteme I) A + 2B = 6 _ 5 II) 3A – B = 1 _ 10 | II – 3·I I) A + 2B = 6 _ 5 II) ‒7B = ‒ 35 _ 10 | : (‒7) I) A + 2B = 6 _ 5 | I – 2·II II) B = 1 _ 2 I) A = 1 _ 5 II) B = 1 _ 2 das heißt, das gesuchte Zahlenpaar (A, B) ist 2 1 _ 5 , 1 _ 2 3 . B ein Gleichungs- system, in dem die Unbekannten mit Hochzahl 2 vorkommen, lösen B ein Gleichungs- system, in dem die Unbekannten in mindestens einem Divisor vorkommen, lösen ggb/mcd/tns 7qw98b ggb bt7ie8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv